É possível encontrar uma parábola da forma y=alpha+beta x+gamma x^2 que passa pelos pontos (0,1),(1,3),(2,15) e (3,37) ? Por quê?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão quer saber se dá para encontrar uma parábola da forma que passe pelos pontos , , e . Vamos precisar usar álgebra para resolver um sistema de equações e verificar se todas as condições são satisfeitas.

Passo 2

Vamos começar substituindo cada ponto na equação da parábola para criar um sistema de equações. Para o ponto 1 = alpha + beta(0) + gamma(0)^2 :
1 = alpha
Então, já sabemos que .

Passo 3

Agora, substituímos o ponto 3 = 1 + beta(1) + gamma(1)^2 na equação:
3 = 1 + beta + gamma
beta + gamma = 2
*Equação 1*
çã

Passo 4

Substituímos o ponto 15 = 1 + beta(2) + gamma(2)^2 :
15 = 1 + 2beta + 4gamma
2beta + 4gamma = 14
beta + 2gamma = 7
*Equação 2*
çã

Passo 5

Temos agora um sistema com duas equações:
  1. (beta + 2gamma) - (beta + gamma) = 7 - 2
  2. gamma = 5
Vamos resolver subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
beta + 5 = 2
beta = -3
Agora, substituímos na Equação 1:

Passo 6

Com os valores encontrados:
alpha = 1
beta = -3
gamma = 5
A equação da parábola fica:
y = 1 - 3x + 5x^2

Passo 7

Vamos verificar se o ponto y = 1 - 3(3) + 5(3)^2 satisfaz essa equação:
y = 1 - 9 + 45
y = 37
Como bateu direitinho, o ponto também está na parábola.

Resposta

Sim, existe uma parábola da forma que passa pelos pontos , , e .

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