Escreva as equações paramétricas da reta r, interseção dos planos: pi1: 2 x+y-z=0 e pi1: x-2 y+z-1=0.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado. Temos que encontrar as equações paramétricas da reta pi1: 2x + y - z = 0 , que é a interseção de dois planos:
pi2: x - 2y + z - 1 = 0
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a interseção de planos e equações paramétricas de retas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar um ponto que pertença a ambos os planos 2x + y - z = 0 (1) x - 2y + z - 1 = 0 (2) e . Para isso, vamos resolver o sistema de equações formado por essas duas equações.
Temos:
Podemos resolver esse sistema por substituição ou eliminação. Vamos usar o método da eliminação.

Passo 3

Vamos somar as duas equações para eliminar (2x + y - z) + (x - 2y + z - 1) = 0 + 0 :
3x - y - 1 = 0 Rightarrow 3x - y = 1 (3)
Simplificando:
y = 3x - 1
Agora, vamos expressar em função de a partir da equação (3):

Passo 4

Agora que temos 2x + (3x - 1) - z = 0 em função de 5x - 1 - z = 0 Rightarrow z = 5x - 1 , vamos substituir esse valor na equação (1) para encontrar :
Simplificando:

Passo 5

Agora, sabemos que x = t e y = 3t - 1 podem ser expressos em função de z = 5t - 1 . Vamos escolher como o parâmetro da reta. Vamos chamar , onde é um número real que varia.
Então:

Passo 6

Com isso, as equações paramétricas da reta x = t y = 3t - 1 z = 5t - 1 são:
Onde pertence aos números reais ( ).

Resposta

As equações paramétricas da reta x = t y = 3t - 1 z = 5t - 1 são:
onde .

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