Para u e v, vetores, alpha, beta, gamma, de, mostre que (alpha u+beta v) wed>=(gamma u+de= v.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que (alpha u+beta v) wed>=(gamma u+de é igual ao determinante |llalpha & beta gamma & de multiplicado por u wed>= v. Esse problema envolve vetores e produtos vetoriais, especificamente o produto exterior (wedge product). Vamos precisar usar propriedades distributivas e antissimétricas do produto exterior, além de entender como os determinantes funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o produto exterior usando a distributividade:
(alpha u + beta v) wed>= (gamma u + de= u) + alpha de= v) + beta gamma (v wed>= u) + beta de= v)

Passo 3

Sabemos que o produto exterior de um vetor consigo mesmo é zero, ou seja, u wed>= u = 0 e v wed>= v = 0. Então, os termos alpha gamma (u wed>= u) e beta de= v) desaparecem:

Passo 4

Observamos que o produto exterior é antissimétrico, ou seja, v wed>= u = -u wed>= v. Substituindo isso na expressão:

Passo 5

Fatorando u wed>= v:
= (alpha de= v)

Passo 6

Reconhecemos o determinante |llalpha & beta gamma & de. Portanto, substituindo:
= |llalpha & beta gamma & de= v)

Resposta

(alpha u+beta v) wed>=(gamma u+de= v

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