Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que é igual ao determinante multiplicado por . Esse problema envolve vetores e produtos vetoriais, especificamente o produto exterior (wedge product). Vamos precisar usar propriedades distributivas e antissimétricas do produto exterior, além de entender como os determinantes funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o produto exterior usando a distributividade:
Passo 3
Sabemos que o produto exterior de um vetor consigo mesmo é zero, ou seja, e . Então, os termos e desaparecem:
Passo 4
Observamos que o produto exterior é antissimétrico, ou seja, . Substituindo isso na expressão:
Passo 5
Fatorando :
Passo 6
Reconhecemos o determinante . Portanto, substituindo: