Escreva as equações reduzidas das parábolas a seguir, dados
(a) o vértice
e diretriz
.
(b) o foco
e diretriz
.
© o vértice
, eixo de simetria
e um ponto da parábola,
.
(d) dois pontos da parábola,
e vértice
.
(e) o vértice
e foco
.
(a) o vértice
(b) o foco
© o vértice
(d) dois pontos da parábola,
(e) o vértice
Passo 1
Beleza, vamos resolver o primeiro item! A gente precisa encontrar a equação reduzida de uma parábola que tem o vértice em
e a diretriz na reta
. A matéria envolvida aqui é a geometria analítica, e vamos precisar entender como relacionar o vértice e a diretriz para achar a equação da parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma parábola é o conjunto de pontos que estão equidistantes de um foco e de uma diretriz. Nesse caso, como a diretriz é uma reta horizontal (
) e o vértice está na origem, isso significa que a parábola vai abrir para baixo ou para cima.
Passo 3
A distância entre o vértice e a diretriz é o valor de
, que determina a abertura da parábola. Como a diretriz está acima do vértice, a parábola vai abrir para baixo, então
será negativo. A distância é
.
Passo 4
A equação padrão da parábola que abre para cima ou para baixo é
, onde
é o vértice. No nosso caso,
e
, então a equação fica
.
Passo 5
Substituindo
na equação, temos:
Passo 6
Agora, vamos para o segundo item! Precisamos encontrar a equação reduzida de uma parábola que tem o foco em
e a diretriz na reta
. Vamos usar novamente a geometria analítica para relacionar o foco e a diretriz.
Passo 7
Quando a diretriz é uma reta vertical (
) e o foco está em
, isso indica que a parábola abre para a direita ou para a esquerda.
Passo 8
A distância entre o foco e a diretriz é
, que vai determinar a abertura. Como o foco está à direita da diretriz, a parábola abre para a direita, então
será positivo. A distância é
.
Passo 9
A equação padrão da parábola que abre para a direita ou para a esquerda é
, onde
é o vértice. Sabendo que o foco está em
e a distância
, o vértice fica em
.
Passo 10
Substituindo
,
e
na equação, temos:
Passo 11
Vamos seguir para o terceiro item! Queremos a equação reduzida de uma par��bola com vértice em
, eixo de simetria no eixo
e passando pelo ponto
. Vamos usar as propriedades das parábolas para descobrir a equação.
Passo 12
Sabendo que o eixo de simetria é o eixo
, a parábola abre para cima ou para baixo. A equação padrão nesse caso é
, onde
é o vértice. Aqui,
e
, então a equação fica
.
Passo 13
Precisamos encontrar o valor de
. Para isso, usamos o ponto dado que pertence à parábola,
. Substituindo na equação:
Passo 14
Agora que temos
, substituímos de volta na equação padrão:
Passo 15
Vamos ao quarto item! Precisamos encontrar a equação reduzida de uma parábola que passa pelos pontos
e tem vértice em
. Vamos utilizar as informações dadas para determinar a equação.
Passo 16
Como os dois pontos são simétricos em relação ao eixo
e o vértice está na origem, a parábola tem eixo de simetria no eixo
e abre para a direita ou para a esquerda. A equação padrão é
, com
, então fica
.
Passo 17
Para encontrar
, utilizamos um dos pontos dados. Vamos usar o ponto
. Substituindo na equação:
Passo 18
Com
, substituímos de volta na equação padrão:
Passo 19
Vamos resolver o último item! Precisamos achar a equação reduzida de uma parábola com vértice em
e foco em
. Vamos usar as propriedades da parábola para encontrar a equação.
Passo 20
Primeiro, vamos identificar a direção em que a parábola está abrindo. O vértice está em
e o foco em
, o que indica que a parábola não é vertical nem horizontal pura, mas inclinada.
Passo 21
Para encontrar a equação, podemos usar a definição de parábola: a distância de um ponto
à diretriz é igual à distância até o foco. Primeiro, precisamos achar a equação da diretriz.
Passo 22
A direção da parábola pode ser determinada pelas coordenadas do foco em relação ao vértice. Como o foco está deslocado para a direita e acima do vértice, a parábola abre na direção nordeste. Mas para simplificar, vamos usar a fórmula geral da parábola com vértice não na origem.
Passo 23
A equação geral de uma parábola com vértice em
e foco em
é
, onde
está relacionado à inclinação. Porém, nesse caso, a parábola é inclinada e requer um pouco mais de cálculo.
Passo 24
Para uma parábola inclinada, podemos usar a equação baseada na distância:
Precisamos determinar a equação da diretriz.
Passo 25
O vértice está no ponto médio entre o foco e a diretriz. Como o vértice é
e o foco é
, a diretriz estará a mesma distância do vértice, mas na direção oposta. Calculando, obtemos a diretriz
.
Passo 26
Substituindo na equação da parábola:
Elevando ao quadrado ambos os lados e simplificando, obtemos a equação reduzida da parábola.
Resposta
A equação reduzida da parábola é
.