Escreva as equações reduzidas das parábolas a seguir, dados
(a) o vértice e diretriz .
(b) o foco e diretriz .
© o vértice , eixo de simetria e um ponto da parábola, .
(d) dois pontos da parábola, e vértice .
(e) o vértice e foco .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o primeiro item! A gente precisa encontrar a equação reduzida de uma parábola que tem o vértice em e a diretriz na reta . A matéria envolvida aqui é a geometria analítica, e vamos precisar entender como relacionar o vértice e a diretriz para achar a equação da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma parábola é o conjunto de pontos que estão equidistantes de um foco e de uma diretriz. Nesse caso, como a diretriz é uma reta horizontal ( ) e o vértice está na origem, isso significa que a parábola vai abrir para baixo ou para cima.

Passo 3

A distância entre o vértice e a diretriz é o valor de , que determina a abertura da parábola. Como a diretriz está acima do vértice, a parábola vai abrir para baixo, então será negativo. A distância é .

Passo 4

A equação padrão da parábola que abre para cima ou para baixo é , onde é o vértice. No nosso caso, e , então a equação fica .

Passo 5

Substituindo na equação, temos:

Passo 6

Agora, vamos para o segundo item! Precisamos encontrar a equação reduzida de uma parábola que tem o foco em e a diretriz na reta . Vamos usar novamente a geometria analítica para relacionar o foco e a diretriz.

Passo 7

Quando a diretriz é uma reta vertical ( ) e o foco está em , isso indica que a parábola abre para a direita ou para a esquerda.

Passo 8

A distância entre o foco e a diretriz é , que vai determinar a abertura. Como o foco está à direita da diretriz, a parábola abre para a direita, então será positivo. A distância é .

Passo 9

A equação padrão da parábola que abre para a direita ou para a esquerda é , onde é o vértice. Sabendo que o foco está em e a distância , o vértice fica em .

Passo 10

Substituindo , e na equação, temos:

Passo 11

Vamos seguir para o terceiro item! Queremos a equação reduzida de uma par��bola com vértice em , eixo de simetria no eixo e passando pelo ponto . Vamos usar as propriedades das parábolas para descobrir a equação.

Passo 12

Sabendo que o eixo de simetria é o eixo , a parábola abre para cima ou para baixo. A equação padrão nesse caso é , onde é o vértice. Aqui, e , então a equação fica .

Passo 13

Precisamos encontrar o valor de . Para isso, usamos o ponto dado que pertence à parábola, . Substituindo na equação:

Passo 14

Agora que temos , substituímos de volta na equação padrão:

Passo 15

Vamos ao quarto item! Precisamos encontrar a equação reduzida de uma parábola que passa pelos pontos e tem vértice em . Vamos utilizar as informações dadas para determinar a equação.

Passo 16

Como os dois pontos são simétricos em relação ao eixo e o vértice está na origem, a parábola tem eixo de simetria no eixo e abre para a direita ou para a esquerda. A equação padrão é , com , então fica .

Passo 17

Para encontrar , utilizamos um dos pontos dados. Vamos usar o ponto . Substituindo na equação:

Passo 18

Com , substituímos de volta na equação padrão:

Passo 19

Vamos resolver o último item! Precisamos achar a equação reduzida de uma parábola com vértice em e foco em . Vamos usar as propriedades da parábola para encontrar a equação.

Passo 20

Primeiro, vamos identificar a direção em que a parábola está abrindo. O vértice está em e o foco em , o que indica que a parábola não é vertical nem horizontal pura, mas inclinada.

Passo 21

Para encontrar a equação, podemos usar a definição de parábola: a distância de um ponto à diretriz é igual à distância até o foco. Primeiro, precisamos achar a equação da diretriz.

Passo 22

A direção da parábola pode ser determinada pelas coordenadas do foco em relação ao vértice. Como o foco está deslocado para a direita e acima do vértice, a parábola abre na direção nordeste. Mas para simplificar, vamos usar a fórmula geral da parábola com vértice não na origem.

Passo 23

A equação geral de uma parábola com vértice em e foco em é , onde está relacionado à inclinação. Porém, nesse caso, a parábola é inclinada e requer um pouco mais de cálculo.

Passo 24

Para uma parábola inclinada, podemos usar a equação baseada na distância:
Precisamos determinar a equação da diretriz.

Passo 25

O vértice está no ponto médio entre o foco e a diretriz. Como o vértice é e o foco é , a diretriz estará a mesma distância do vértice, mas na direção oposta. Calculando, obtemos a diretriz .

Passo 26

Substituindo na equação da parábola:
Elevando ao quadrado ambos os lados e simplificando, obtemos a equação reduzida da parábola.

Resposta

A equação reduzida da parábola é .

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