Escreva as equações reduzidas das parábolas a seguir, dados
(a) o vértice V=(0,0) e diretriz y=2.
(b) o foco (2,3) e diretriz x=0.
© o vértice V=(0,0), eixo de simetria O x e um ponto da parábola, (5,10).
(d) dois pontos da parábola, ( pm 6,18) e vértice (0,0).
(e) o vértice V=(1,0) e foco F=(2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o primeiro item! A gente precisa encontrar a equação reduzida de uma parábola que tem o vértice em V=(0,0) e a diretriz na reta y=2. A matéria envolvida aqui é a geometria analítica, e vamos precisar entender como relacionar o vértice e a diretriz para achar a equação da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma parábola é o conjunto de pontos que estão equidistantes de um foco e de uma diretriz. Nesse caso, como a diretriz é uma reta horizontal ( y=2) e o vértice está na origem, isso significa que a parábola vai abrir para baixo ou para cima.

Passo 3

A distância entre o vértice e a diretriz é o valor de p, que determina a abertura da parábola. Como a diretriz está acima do vértice, a parábola vai abrir para baixo, então p será negativo. A distância é p = -2.

Passo 4

A equação padrão da parábola que abre para cima ou para baixo é (x - h)^2 = 4p(y - k), onde (h,k) é o vértice. No nosso caso, h=0 e k=0, então a equação fica x^2 = 4p y.

Passo 5

Substituindo p = -2 na equação, temos:
x^2 = 4 times (-2) times y x^2 = -8y

Passo 6

Agora, vamos para o segundo item! Precisamos encontrar a equação reduzida de uma parábola que tem o foco em (2,3) e a diretriz na reta x=0. Vamos usar novamente a geometria analítica para relacionar o foco e a diretriz.

Passo 7

Quando a diretriz é uma reta vertical ( x=0) e o foco está em (2,3), isso indica que a parábola abre para a direita ou para a esquerda.

Passo 8

A distância entre o foco e a diretriz é p, que vai determinar a abertura. Como o foco está à direita da diretriz, a parábola abre para a direita, então p será positivo. A distância é p = 2.

Passo 9

A equação padrão da parábola que abre para a direita ou para a esquerda é (y - k)^2 = 4p(x - h), onde (h,k) é o vértice. Sabendo que o foco está em (2,3) e a distância p=2, o vértice fica em (h,k) = (2 - p, 3) = (0,3).

Passo 10

Substituindo h=0, k=3 e p=2 na equação, temos:
(y - 3)^2 = 4 times 2 times (x - 0) (y - 3)^2 = 8x

Passo 11

Vamos seguir para o terceiro item! Queremos a equação reduzida de uma par��bola com vértice em V=(0,0), eixo de simetria no eixo O x e passando pelo ponto (5,10). Vamos usar as propriedades das parábolas para descobrir a equação.

Passo 12

Sabendo que o eixo de simetria é o eixo O x, a parábola abre para cima ou para baixo. A equação padrão nesse caso é (x - h)^2 = 4p(y - k), onde (h,k) é o vértice. Aqui, h=0 e k=0, então a equação fica x^2 = 4p y.

Passo 13

Precisamos encontrar o valor de p. Para isso, usamos o ponto dado que pertence à parábola, (5,10). Substituindo na equação:
5^2 = 4p times 10 25 = 40p p = 2540 = 58

Passo 14

Agora que temos p = 58, substituímos de volta na equação padrão:
x^2 = 4 times 58 times y x^2 = 208 y x^2 = 52 y

Passo 15

Vamos ao quarto item! Precisamos encontrar a equação reduzida de uma parábola que passa pelos pontos (pm 6,18) e tem vértice em (0,0). Vamos utilizar as informações dadas para determinar a equação.

Passo 16

Como os dois pontos são simétricos em relação ao eixo O x e o vértice está na origem, a parábola tem eixo de simetria no eixo O y e abre para a direita ou para a esquerda. A equação padrão é (y - k)^2 = 4p(x - h), com (h,k) = (0,0), então fica (y)^2 = 4p x.

Passo 17

Para encontrar p, utilizamos um dos pontos dados. Vamos usar o ponto (6,18). Substituindo na equação:
18^2 = 4p times 6 324 = 24p p = 32424 = 13.5

Passo 18

Com p = 13.5, substituímos de volta na equação padrão:
y^2 = 4 times 13.5 times x y^2 = 54x

Passo 19

Vamos resolver o último item! Precisamos achar a equação reduzida de uma parábola com vértice em V=(1,0) e foco em F=(2,1). Vamos usar as propriedades da parábola para encontrar a equação.

Passo 20

Primeiro, vamos identificar a direção em que a parábola está abrindo. O vértice está em (1,0) e o foco em (2,1), o que indica que a parábola não é vertical nem horizontal pura, mas inclinada.

Passo 21

Para encontrar a equação, podemos usar a definição de parábola: a distância de um ponto (x,y) à diretriz é igual à distância até o foco. Primeiro, precisamos achar a equação da diretriz.

Passo 22

A direção da parábola pode ser determinada pelas coordenadas do foco em relação ao vértice. Como o foco está deslocado para a direita e acima do vértice, a parábola abre na direção nordeste. Mas para simplificar, vamos usar a fórmula geral da parábola com vértice não na origem.

Passo 23

A equação geral de uma parábola com vértice em (h,k) e foco em (h+p,k+q) é (y - k) = m(x - h)^2, onde m está relacionado à inclinação. Porém, nesse caso, a parábola é inclinada e requer um pouco mais de cálculo.

Passo 24

Para uma parábola inclinada, podemos usar a equação baseada na distância:
raiz(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = dist( (x,y), diretriz)
Precisamos determinar a equação da diretriz.

Passo 25

O vértice está no ponto médio entre o foco e a diretriz. Como o vértice é (1,0) e o foco é (2,1), a diretriz estará a mesma distância do vértice, mas na direção oposta. Calculando, obtemos a diretriz y = -1 - x.

Passo 26

Substituindo na equação da parábola:
raiz(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = |y + x + 1|raiz2
Elevando ao quadrado ambos os lados e simplificando, obtemos a equação reduzida da parábola.

Resposta

A equação reduzida da parábola é (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (y + x + 1)^22.

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