O ponto P(2,-1,-1) é o pé da perpendicular baixada da origem até um plano pi. Encontre a equação geral desse plano.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ponto que é o pé da perpendicular da origem até um plano . O conteúdo aqui envolve geometria analítica, especificamente equações de planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a equação de um plano quando conhecemos um ponto nele e o vetor normal ao plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a perpendicular da origem até o plano nos dá o vetor normal ao plano. Nesse caso, o vetor que vai da origem até o ponto é . Esse vetor é normal porque ele é perpendicular ao plano .

Passo 3

A equação geral de um plano pode ser escrita usando o vetor normal A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 e um ponto no plano. A fórmula é:
Aqui, nosso vetor normal é e o ponto no plano é .

Passo 4

Vamos substituir na fórmula:
2(x - 2) -1(y + 1) -1(z + 1) = 0
Agora, vamos distribuir os termos:
2x - 4 - y - 1 - z - 1 = 0

Passo 5

Juntando os termos semelhantes, temos:
2x - y - z - 6 = 0
Isso é a equação geral do plano .

Resposta

A equação geral do plano é .

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