O ponto é o pé da perpendicular baixada da origem até um plano . Encontre a equação geral desse plano.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ponto que é o pé da perpendicular da origem até um plano . O conteúdo aqui envolve geometria analítica, especificamente equações de planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a equação de um plano quando conhecemos um ponto nele e o vetor normal ao plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a perpendicular da origem até o plano nos dá o vetor normal ao plano. Nesse caso, o vetor que vai da origem até o ponto é . Esse vetor é normal porque ele é perpendicular ao plano .

Passo 3

A equação geral de um plano pode ser escrita usando o vetor normal e um ponto no plano. A fórmula é:
Aqui, nosso vetor normal é e o ponto no plano é .

Passo 4

Vamos substituir na fórmula:
Agora, vamos distribuir os termos:

Passo 5

Juntando os termos semelhantes, temos:
Isso é a equação geral do plano .

Resposta

A equação geral do plano é .

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, determine quando cada sistema de equações lineares (i) tem uma única solução, (ii) tem infinitas soluções, ou (ii) não possui solução. Quando existirem, exiba o conjunto solução.
;
Sejam
(g)
Escreva as equações reduzidas das parábolas a seguir, dados
(a) o vértice e diretriz .
(b) o foco e diretriz .
© o vértice , eixo de simetria e um ponto da parábola, .
(d) dois pontos da parábola, e vértice .
(e) o vértice e foco .
Desenhe a curva cuja imagem é a poligonal de vértices e , orientada no sentido antihotário, e determine suas equações.