Nos itens abaixo, determine quando cada sistema de equações lineares (i) tem uma única solução, (ii) tem infinitas soluções, ou (ii) não possui solução. Quando existirem, exiba o conjunto solução. ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares juntos! O enunciado pede para a gente descobrir quando esse sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para isso, vamos usar álgebra linear, especialmente o método de eliminação de Gauss para simplificar as equações e encontrar as soluções, se existirem.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem todas essas equações ao mesmo tempo.
Passo 3
Vamos montar a matriz aumentada desse sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
Passo 4
Agora, vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar essa matriz. O objetivo é transformar a matriz em uma forma triangular, facilitando a resolução das variáveis.
Primeiro, vamos eliminar o das segunda e terceira equações subtraindo a primeira equação da segunda e adicionando duas vezes a primeira equação à terceira.
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Adicionando duas vezes a primeira equação à terceira:
Nossa matriz agora fica:
Passo 5
Continuando a eliminação, vamos simplificar mais. Vamos eliminar o da terceira equação.
Primeiro, vamos multiplicar a segunda equação por para que o coeficiente de se torne 3:
Agora, somamos essa nova equação com a terceira equação original:
A matriz agora é:
Passo 6
Com a matriz triangularizada, podemos resolver as variáveis de trás para frente.