Nos itens abaixo, determine quando cada sistema de equações lineares (i) tem uma única solução, (ii) tem infinitas soluções, ou (ii) não possui solução. Quando existirem, exiba o conjunto solução.
x1-x2+3 x3 & =14 x1+x2+x3 & =6 -2 x1-x2+x3 & =-4;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares juntos! O enunciado pede para a gente descobrir quando esse sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para isso, vamos usar álgebra linear, especialmente o método de eliminação de Gauss para simplificar as equações e encontrar as soluções, se existirem.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
x1 - x2 + 3x3 = 14 x1 + x2 + x3 = 6 -2x1 - x2 + x3 = -4
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem todas essas equações ao mesmo tempo.

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada desse sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
1 & -1 & 3 & | & 14 1 & 1 & 1 & | & 6 -2 & -1 & 1 & | & -4

Passo 4

Agora, vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar essa matriz. O objetivo é transformar a matriz em uma forma triangular, facilitando a resolução das variáveis.
Primeiro, vamos eliminar o (1 - 1)x1 + (1 - (-1))x2 + (1 - 3)x3 = 6 - 14 0x1 + 2x2 - 2x3 = -8 das segunda e terceira equações subtraindo a primeira equação da segunda e adicionando duas vezes a primeira equação à terceira.
Subtraindo a primeira equação da segunda:
-2x1 + 2x1 + (-1 + (-2))x2 + (1 + 6)x3 = -4 + 28 0x1 -3x2 +7x3 = 24
Adicionando duas vezes a primeira equação à terceira:
1 & -1 & 3 & | & 14 0 & 2 & -2 & | & -8 0 & -3 & 7 & | & 24
Nossa matriz agora fica:

Passo 5

Continuando a eliminação, vamos simplificar mais. Vamos eliminar o 0x1 + 3x2 -3x3 = -12 da terceira equação.
Primeiro, vamos multiplicar a segunda equação por (0 + 0)x1 + (-3 + 3)x2 + (7 -3)x3 = 24 -12 0x1 + 0x2 +4x3 =12 para que o coeficiente de 1 & -1 & 3 & | & 14 0 & 2 & -2 & | & -8 0 & 0 & 4 & | & 12 se torne 3:
Agora, somamos essa nova equação com a terceira equação original:
A matriz agora é:

Passo 6

Com a matriz triangularizada, podemos resolver as variáveis de trás para frente.
Começamos pela terceira equação:
4x3 = 12 Rightarrow x3 = 124 = 3
Agora, substituímos 2x2 -2(3) = -8 2x2 -6 = -8 2x2 = -8 +6 2x2 = -2 x2 = -22 = -1 na segunda equação:
x1 - (-1) +3(3) =14 x1 +1 +9 =14 x1 +10 =14 x1 =14 -10 x1 =4
Por fim, substituímos e na primeira equação:

Resposta

O sistema possui uma única solução:
x1 = 4, x2 = -1, x3 = 3

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