Escreva equações da reta tangente à curva do parametrizada por no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações da reta tangente à curva no espaço tridimensional, dada pela parametrização , no ponto específico . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e equações paramétricas de retas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto na curva . Olhando para a primeira coordenada de , temos:
Então, gera o ponto , que é exatamente o ponto que estamos interessados.

Passo 3

Agora, para encontrar a reta tangente, precisamos da derivada da função vetorial em relação a . A derivada nos dá o vetor tangente à curva naquele ponto, que serve como direção para a reta tangente.
Vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos avaliar a derivada no valor para encontrar o vetor tangente no ponto dado:
Isso significa que o vetor tangente à curva no ponto é .

Passo 5

Com o ponto e o vetor tangente , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. As equações paramétricas de uma reta no espaço são dadas por:
Onde é um ponto na reta e é o vetor diretor da reta.

Passo 6

Aplicando os valores que temos:
  • Ponto:
  • Vetor diretor:
Portanto, as equações paramétricas da reta tangente são:

Resposta

As equações da reta tangente à curva no ponto são:
Onde é um parâmetro real.

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Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
c)