Escreva equações da reta tangente à curva do R^3 parametrizada por sigma(t) = (t, 1 - t^2, 1) no ponto (0, 1, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações da reta tangente à curva no espaço tridimensional, dada pela parametrização , no ponto específico (0, 1, 1). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e equações paramétricas de retas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de t que corresponde ao ponto (0, 1, 1) na curva sigma(t). Olhando para a primeira coordenada de sigma(t), temos:
Então, gera o ponto , que é exatamente o ponto que estamos interessados.

Passo 3

Agora, para encontrar a reta tangente, precisamos da derivada da função vetorial sigma(t) em relação a t. A derivada nos dá o vetor tangente à curva naquele ponto, que serve como direção para a reta tangente.
Vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos avaliar a derivada no valor para encontrar o vetor tangente no ponto dado:
Isso significa que o vetor tangente à curva no ponto (0, 1, 1) é .

Passo 5

Com o ponto (0, 1, 1) e o vetor tangente (1, 0, 0), podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. As equações paramétricas de uma reta no espaço são dadas por:
Onde é um ponto na reta e (a, b, c) é o vetor diretor da reta.

Passo 6

Aplicando os valores que temos:
  • Ponto: (0, 1, 1)
  • Vetor diretor: (1, 0, 0)
Portanto, as equações paramétricas da reta tangente são:

Resposta

As equações da reta tangente à curva no ponto (0, 1, 1) são:
Onde t é um parâmetro real.

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