Seja e para . Mostre que: diverge.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência onde o primeiro termo, , é maior que zero, e cada termo seguinte é definido por . Nosso objetivo é mostrar que a soma infinita desses termos, ou seja, , não converge, ou seja, diverge. Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries e comportamento de funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar como os termos da sequência se comportam conforme aumenta. Sabemos que a função logarítmica é crescente para . Como , todos os termos subsequentes também serão positivos.

Passo 3

Agora, vamos tentar entender a taxa de crescimento ou decrescimento da sequência . Para isso, consideramos o que acontece quando é pequeno. Sabemos que, para valores pequenos de , a aproximação é válida. Então, para pequeno, temos .

Passo 4

Essa aproximação nos indica que os termos da sequência estão diminuindo muito lentamente. Na verdade, eles estão se aproximando de um comportamento onde cada termo é aproximadamente igual ao anterior. Isso sugere que a sequência não está decrescendo rapidamente o suficiente para que a soma dos termos seja finita.

Passo 5

Para determinar se a série diverge, podemos compará-la com uma série conhecida que também diverge, como a série harmônica .

Passo 6

Vamos verificar se existe uma constante positiva e um número natural tal que, para todo , . Se isso for verdadeiro, então a série será maior ou igual a , que sabemos que diverge.

Passo 7

De fato, para grande, a aproximação se sustenta, onde é uma constante positiva. Portanto, a série se comporta de maneira similar à série harmônica, que é conhecida por divergir.

Resposta

Portanto, a série diverge.

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