Seja
e
para
. Mostre que:
diverge.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência onde o primeiro termo,
, é maior que zero, e cada termo seguinte é definido por
. Nosso objetivo é mostrar que a soma infinita desses termos, ou seja,
, não converge, ou seja, diverge. Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries e comportamento de funções logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos observar como os termos da sequência
se comportam conforme
aumenta. Sabemos que a função logarítmica
é crescente para
. Como
, todos os termos subsequentes
também serão positivos.
Passo 3
Agora, vamos tentar entender a taxa de crescimento ou decrescimento da sequência
. Para isso, consideramos o que acontece quando
é pequeno. Sabemos que, para valores pequenos de
, a aproximação
é válida. Então, para
pequeno, temos
.
Passo 4
Essa aproximação nos indica que os termos da sequência estão diminuindo muito lentamente. Na verdade, eles estão se aproximando de um comportamento onde cada termo é aproximadamente igual ao anterior. Isso sugere que a sequência não está decrescendo rapidamente o suficiente para que a soma dos termos seja finita.
Passo 5
Para determinar se a série
diverge, podemos compará-la com uma série conhecida que também diverge, como a série harmônica
.
Passo 6
Vamos verificar se existe uma constante positiva
e um número natural
tal que, para todo
,
. Se isso for verdadeiro, então a série
será maior ou igual a
, que sabemos que diverge.
Passo 7
De fato, para
grande, a aproximação
se sustenta, onde
é uma constante positiva. Portanto, a série
se comporta de maneira similar à série harmônica, que é conhecida por divergir.
Resposta
Portanto, a série
diverge.
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e
para
. Mostre que:
.
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d)
d)
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parametrizada por
no ponto
.
Seja
e
para
. Mostre que:
.