Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer representar a função como uma série de potências e descobrir qual é o raio e o intervalo de convergência dessa série. Isso está dentro do conteúdo de Séries de Potências na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir funções em séries de potências, usar o teorema binomial e aplicar critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências tem a forma geral:
onde são os coeficientes da série e é o centro da série. No nosso caso, o centro será 0, então a série ficará em torno de :
Passo 3
Agora, queremos escrever nessa forma de série de potências. Para isso, vamos usar o Teorema Binomial Generalizado, que nos permite expandir para qualquer , não apenas para inteiros positivos.
A fórmula geral do teorema binomial é:
onde é o coeficiente binomial generalizado, calculado por:
Passo 4
No nosso caso, temos porque a função é . Vamos substituir na fórmula:
Vamos calcular os primeiros coeficientes para entender o padrão:
Portanto, a série fica:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, usamos o Critério da Razão:
Nosso coeficiente geral é:
Vamos calcular a razão:
Calculando o limite:
Então:
Isso significa que a série converge quando .
Para o intervalo de convergência, precisamos verificar os pontos e :
Em :
A série diverge porque os termos não tendem a zero.
Em :
Também diverge.
Então, o intervalo de convergência é .
Resposta
A representação da função como uma série de potências é:
O raio de convergência dessa série é e o intervalo de convergência é .