Seja e para . Mostre que: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma sequência definida por com . A tarefa é mostrar que o limite . Vamos precisar usar conceitos de sequências e limites, além de algumas propriedades dos logaritmos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a sequência se comporta conforme aumenta. Sabemos que . Como o logaritmo natural é menor que para , a sequência está decrescendo e se aproximando de 0 conforme cresce.

Passo 3

Para encontrar o limite de quando tende ao infinito, vamos supor que tende a 0 de uma forma específica. Isso é comum em análises de limites de sequências que tendem a 0. Podemos supor que se comporta como quando é grande, onde é uma constante que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos substituir por na equação de recorrência:
Usando a aproximação para pequenos valores de , temos que . Portanto,

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por para simplificar, obtemos:
Subtraindo de ambos os lados:
Como tende ao infinito, o termo tende a 0, então temos:
Isso sugere que nossa suposição inicial precisa ser ajustada para achar um equilíbrio.

Passo 6

Vamos refinar nossa aproximação assumindo que se comporta como . Substituindo na recorrência:
Igualando aos termos da expansão de :
Simplificando e igualando os coeficientes dos termos semelhantes, encontramos que .

Resposta

Portanto, mostramos que .

Exercícios relacionados

Escreva equações da reta tangente à curva do parametrizada por no ponto .
Seja e para . Mostre que: diverge.
Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
c)
Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
h)