Seja x1>0 e xn+1=ln (1+xn) para n >= 1. Mostre que: lim n infty n xn=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma sequência definida por com . A tarefa é mostrar que o limite . Vamos precisar usar conceitos de sequências e limites, além de algumas propriedades dos logaritmos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a sequência se comporta conforme aumenta. Sabemos que . Como o logaritmo natural é menor que para , a sequência está decrescendo e se aproximando de 0 conforme cresce.

Passo 3

Para encontrar o limite de quando tende ao infinito, vamos supor que tende a 0 de uma forma específica. Isso é comum em análises de limites de sequências que tendem a 0. Podemos supor que se comporta como quando é grande, onde é uma constante que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos substituir xn+1 = ln(1 + an) por an+1 approx an - a^22n^2 na equação de recorrência:
Usando a aproximação para pequenos valores de , temos que . Portanto,

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por a n approx a (n + 1) - a^22n para simplificar, obtemos:
a n approx a n + a - a^22n
0 approx a - a^22n
Subtraindo 0 approx a de ambos os lados:
Como tende ao infinito, o termo tende a 0, então temos:
Isso sugere que nossa suposição inicial precisa ser ajustada para achar um equilíbrio.

Passo 6

Vamos refinar nossa aproximação assumindo que xn+1 = ln(1 + an + bn^2) approx an + bn^2 - 12(an)^2 se comporta como an+1 + b(n+1)^2 approx an + bn^2 - a^22n^2 . Substituindo na recorrência:
Igualando aos termos da expansão de :
Simplificando e igualando os coeficientes dos termos semelhantes, encontramos que .

Resposta

Portanto, mostramos que .

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