Seja
e
para
. Mostre que:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma sequência definida por
com
. A tarefa é mostrar que o limite
. Vamos precisar usar conceitos de sequências e limites, além de algumas propriedades dos logaritmos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a sequência
se comporta conforme
aumenta. Sabemos que
. Como o logaritmo natural
é menor que
para
, a sequência
está decrescendo e se aproximando de 0 conforme
cresce.
Passo 3
Para encontrar o limite de
quando
tende ao infinito, vamos supor que
tende a 0 de uma forma específica. Isso é comum em análises de limites de sequências que tendem a 0. Podemos supor que
se comporta como
quando
é grande, onde
é uma constante que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos substituir
por
na equação de recorrência:
Usando a aproximação para pequenos valores de
, temos que
. Portanto,
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar, obtemos:
Subtraindo
de ambos os lados:
Como
tende ao infinito, o termo
tende a 0, então temos:
Isso sugere que nossa suposição inicial precisa ser ajustada para achar um equilíbrio.
Passo 6
Vamos refinar nossa aproximação assumindo que
se comporta como
. Substituindo na recorrência:
Igualando aos termos da expansão de
:
Simplificando e igualando os coeficientes dos termos semelhantes, encontramos que
.
Resposta
Portanto, mostramos que
.
Exercícios relacionados
Escreva equações da reta tangente à curva do
parametrizada por
no ponto
.
Seja
e
para
. Mostre que:
diverge.
Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
c)
c)
Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
h)
h)