Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para escrever as equações simétricas de uma reta. A gente vai usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre como representar uma reta no espaço usando equações simétricas. Para isso, vamos precisar identificar os parâmetros que definem a reta, como um ponto por onde ela passa e sua direção.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as equações que nos foram dadas:
Note que ambas as equações estão em termos de . Para facilitar, vamos reescrever essas equações de forma paramétrica, escolhendo como nosso parâmetro. Vamos chamar .
Passo 3
Com , substituímos nas equações para encontrar e :
Agora, temos as equações paramétricas da reta em função de :
Passo 4
Para encontrar as equações simétricas, precisamos isolar x = 45 - 2 t7 Rightarrow 7x = 45 - 2 t Rightarrow 2 t = 45 - 7x Rightarrow t = 45 - 7x2 em cada uma das equações. Vamos fazer isso:
Da equação de z = 34 - 2 t7 Rightarrow 7z = 34 - 2 t Rightarrow 2 t = 34 - 7z Rightarrow t = 34 - 7z2 :
Da equação de :
Passo 5
Igualando as duas expressões para 45 - 7x2 = 34 - 7z2 :
45 - 7x = 34 - 7z
Como os denominadores são iguais e não nulos, podemos simplificar:
7x - 7z = 45 - 34 Rightarrow 7x - 7z = 11
Arrumando os termos:
x - z = 117
Podemos dividir todos os termos por 7 para simplificar:
Passo 6
Agora, vamos expressar as equações simétricas. Sabemos que:
x - x0a = y - y0b = z - z0c
Identificando um ponto na reta e o vetor de direção a partir das equações paramétricas:
Ponto P(457, 0, 347) quando v = (-27, 1, -27) :
Vetor de direção :
Os coeficientes de nas equações paramétricas são:
Passo 7
Finalmente, escrevemos as equações simétricas usando o ponto x - 457-27 = y - 01 = z - 347-27 e o vetor de direção 7(x - 457)-2 = y = 7(z - 347)-2 :
Podemos simplificar multiplicando os denominadores: