Escreva equações vetorial e paramétrica para os planos descritos abaixo: passa pelos pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que escrever as equações vetorial e paramétrica para um plano que passa por três pontos específicos: , e . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar encontrar vetores que estão no plano e depois utilizar esses vetores para montar as equações que descrevem o plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos dados. Vamos calcular os vetores e :
Passo 3
Agora que temos os vetores e , vamos encontrar um vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos. Para isso, usamos o produto vetorial desses dois vetores:
Calculando o produto vetorial:
Então, o vetor normal ao plano é .
Passo 4
Com o vetor normal nx(x - x0) + ny(y - y0) + nz(z - z0) = 0 e sabendo que o plano passa pelo ponto -3(x - 1) + 1(y - 0) -1(z - 1) = 0 , podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
-3x + 3 + y - z + 1 = 0
Substituindo os valores:
-3x + y - z + 4 = 0
Essa é a equação vetorial do plano.
Passo 5
Agora, vamos escrever as equações paramétricas do plano. Para isso, usamos o ponto x = x0 + s cdot ABx + t cdot ACx y = y0 + s cdot ABy + t cdot ACy z = z0 + s cdot ABz + t cdot ACz e os vetores x = 1 + s cdot 1 + t cdot 0 = 1 + s y = 0 + s cdot 1 + t cdot (-1) = s - t z = 1 + s cdot (-2) + t cdot (-1) = 1 - 2s - t e como direções no plano. As equações paramétricas ficam:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação vetorial do plano é x = 1 + s y = s - t z = 1 - 2s - t e as equações paramétricas são: