Escreva equações vetorial e paramétrica para os planos descritos abaixo:
pi passa pelos pontos A=(1,0,1), B=(2,1,-1) e C=(1,-1,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que escrever as equações vetorial e paramétrica para um plano que passa por três pontos específicos: , e . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar encontrar vetores que estão no plano e depois utilizar esses vetores para montar as equações que descrevem o plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos dados. Vamos calcular os vetores AB = B - A = (2-1,, 1-0,, -1-1) = (1,, 1,, -2) e AC = C - A = (1-1,, -1-0,, 0-1) = (0,, -1,, -1) :

Passo 3

Agora que temos os vetores n = AB times AC e n = i & j & k 1 & 1 & -2 0 & -1 & -1 = i(1 cdot (-1) - (-2) cdot (-1)) - j(1 cdot (-1) - (-2) cdot 0) + k(1 cdot (-1) - 1 cdot 0) , vamos encontrar um vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos. Para isso, usamos o produto vetorial desses dois vetores:
n = i(-1 - 2) - j(-1 - 0) + k(-1 - 0) = (-3)i + j - k
Calculando o produto vetorial:
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 4

Com o vetor normal nx(x - x0) + ny(y - y0) + nz(z - z0) = 0 e sabendo que o plano passa pelo ponto -3(x - 1) + 1(y - 0) -1(z - 1) = 0 , podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
-3x + 3 + y - z + 1 = 0
Substituindo os valores:
-3x + y - z + 4 = 0
Essa é a equação vetorial do plano.

Passo 5

Agora, vamos escrever as equações paramétricas do plano. Para isso, usamos o ponto x = x0 + s cdot ABx + t cdot ACx y = y0 + s cdot ABy + t cdot ACy z = z0 + s cdot ABz + t cdot ACz e os vetores x = 1 + s cdot 1 + t cdot 0 = 1 + s y = 0 + s cdot 1 + t cdot (-1) = s - t z = 1 + s cdot (-2) + t cdot (-1) = 1 - 2s - t e como direções no plano. As equações paramétricas ficam:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação vetorial do plano é x = 1 + s y = s - t z = 1 - 2s - t e as equações paramétricas são:
onde e são parâmetros reais.

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