Escreva equações vetorial e paramétrica para os planos descritos abaixo: passa pelos pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que escrever as equações vetorial e paramétrica para um plano que passa por três pontos específicos: , e . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar encontrar vetores que estão no plano e depois utilizar esses vetores para montar as equações que descrevem o plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos dados. Vamos calcular os vetores e :
Passo 3
Agora que temos os vetores e , vamos encontrar um vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos. Para isso, usamos o produto vetorial desses dois vetores:
Calculando o produto vetorial:
Então, o vetor normal ao plano é .
Passo 4
Com o vetor normal e sabendo que o plano passa pelo ponto , podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Essa é a equação vetorial do plano.
Passo 5
Agora, vamos escrever as equações paramétricas do plano. Para isso, usamos o ponto e os vetores e como direções no plano. As equações paramétricas ficam:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação vetorial do plano é e as equações paramétricas são: