INSTITUTO FEDERAL DE MINAS GERAIS <br> Campus Congonhas
Disciplina: Geometria Analítica
Professor: Marcus Vinícius Gomes de Lima
Lista 5: Plano
Determinar uma equação geral do plano:
b) Que passa pelos pontos e e é paralelo à reta :
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício pede. Queremos encontrar a equação geral de um plano que:
Passe pelos pontos e .
Seja paralelo à reta dada por e .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre vetores, planos e produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores que estão no plano. Sabemos que dois pontos no plano nos dão um vetor que está dentro dele. Vamos calcular o vetor :
Então, .
Passo 3
Agora, precisamos de outro vetor que também esteja no plano. Sabemos que o plano é paralelo à reta . Para isso, vamos encontrar o vetor de direção da reta .
A reta está dada pelas equações:
Podemos escrever a parametrização da reta assim:
Portanto, o vetor de direção da reta é .
Como o plano é paralelo a , esse vetor também está no plano.
Passo 4
Agora temos dois vetores no plano: e .
Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores do plano. Para isso, usamos o produto vetorial:
Vamos calcular isso:
Portanto, é o vetor normal ao plano.
Passo 5
Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e sabendo que o plano passa pelo ponto -3(x - (-3)) + 12(y - 1) - 2(z - (-2)) = 0 , podemos usar a forma geral da equação do plano:
-3(x + 3) + 12(y - 1) - 2(z + 2) = 0
Onde -3x - 9 + 12y - 12 - 2z - 4 = 0 são as componentes de -3x + 12y - 2z - 25 = 0 e 3x - 12y + 2z + 25 = 0 são as coordenadas de um ponto no plano.
Substituindo:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por -1 para deixar a equação mais convencional: