INSTITUTO FEDERAL DE MINAS GERAIS <br> Campus Congonhas
Disciplina: Geometria Analítica
Professor: Marcus Vinícius Gomes de Lima
Lista 5: Plano
Determinar uma equação geral do plano:
b) Que passa pelos pontos A(-3,1,-2) e B(-1,2,1) e é paralelo à reta r : x2=z-3 ; y=4

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede. Queremos encontrar a equação geral de um plano que:
  • Passe pelos pontos e .
  • Seja paralelo à reta dada por e .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre vetores, planos e produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que estão no plano. Sabemos que dois pontos no plano nos dão um vetor que está dentro dele. Vamos calcular o vetor AB = B - A = (-1 - (-3), 2 - 1, 1 - (-2)) = (2, 1, 3) :
Então, .

Passo 3

Agora, precisamos de outro vetor que também esteja no plano. Sabemos que o plano é paralelo à reta x2 = z-3; y = 4 . Para isso, vamos encontrar o vetor de direção da reta x = 2t, y = 4, z = -3t .
A reta está dada pelas equações:
Podemos escrever a parametrização da reta assim:
Portanto, o vetor de direção da reta é .
Como o plano é paralelo a , esse vetor também está no plano.

Passo 4

Agora temos dois vetores no plano: n = AB times v e n = i & j & k 2 & 1 & 3 2 & 0 & -3 = i(1 cdot (-3) - 3 cdot 0) - j(2 cdot (-3) - 3 cdot 2) + k(2 cdot 0 - 1 cdot 2) .
Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores do plano. Para isso, usamos o produto vetorial:
n = i(-3) - j(-6 - 6) + k(-2) = (-3, 12, -2)
Vamos calcular isso:
Portanto, é o vetor normal ao plano.

Passo 5

Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e sabendo que o plano passa pelo ponto -3(x - (-3)) + 12(y - 1) - 2(z - (-2)) = 0 , podemos usar a forma geral da equação do plano:
-3(x + 3) + 12(y - 1) - 2(z + 2) = 0
Onde -3x - 9 + 12y - 12 - 2z - 4 = 0 são as componentes de -3x + 12y - 2z - 25 = 0 e 3x - 12y + 2z + 25 = 0 são as coordenadas de um ponto no plano.
Substituindo:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por -1 para deixar a equação mais convencional:

Resposta

A equação geral do plano é:
3x - 12y + 2z + 25 = 0

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