INSTITUTO FEDERAL DE MINAS GERAIS <br> Campus Congonhas
Disciplina: Geometria Analítica
Professor: Marcus Vinícius Gomes de Lima
Lista 5: Plano
Determinar uma equação geral do plano:
b) Que passa pelos pontos e e é paralelo à reta :

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede. Queremos encontrar a equação geral de um plano que:
  • Passe pelos pontos e .
  • Seja paralelo à reta dada por e .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre vetores, planos e produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que estão no plano. Sabemos que dois pontos no plano nos dão um vetor que está dentro dele. Vamos calcular o vetor :
Então, .

Passo 3

Agora, precisamos de outro vetor que também esteja no plano. Sabemos que o plano é paralelo à reta . Para isso, vamos encontrar o vetor de direção da reta .
A reta está dada pelas equações:
Podemos escrever a parametrização da reta assim:
Portanto, o vetor de direção da reta é .
Como o plano é paralelo a , esse vetor também está no plano.

Passo 4

Agora temos dois vetores no plano: e .
Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores do plano. Para isso, usamos o produto vetorial:
Vamos calcular isso:
Portanto, é o vetor normal ao plano.

Passo 5

Com o vetor normal e sabendo que o plano passa pelo ponto , podemos usar a forma geral da equação do plano:
Onde são as componentes de e são as coordenadas de um ponto no plano.
Substituindo:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por -1 para deixar a equação mais convencional:

Resposta

A equação geral do plano é:

Exercícios relacionados

Escreva equações vetorial e paramétrica para os planos descritos abaixo:
passa pelos pontos e .
Seja o Plano , calcule: O valor de para que o plano seja paralelo a .
Questão 3. Determine o valor de para que os pontos , e sejam coplanares. Determine a equação geral do plano que contém os pontos e .
Nos problemas 11 a 14 , escrever a equação geral do plano determinado pelos pontos:
12) e .