Escreva equaçōes vetorial e paramétricas para os planos descritos abaixo:
a) pi passa por A=(1,1,0) e B=(1,-1,-1) e é paralelo go vetor v=(2,1,0).
b) pi passa por A=(1,0,1) e B=(0,1,-1) e é paralelo ao segmento CD , onde C=(1,2,1) e D=(0,1,0)
c) pi passa pelos pontos A=(1,0,1), B=(2,1,-1) e C=(1,-1,0).
d) pi passa pelos pontos A=(1,0,2), B=(-1,1,3) e C=(3,-1,1)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos escrever as equações vetoriais e paramétricas para o plano pi descrito na parte a). O plano passa pelos pontos A = (1, 1, 0) e B = (1, -1, -1) e é paralelo ao vetor v = (2, 1, 0). Vamos usar conceitos de geometria analítica e vetores para resolver.

Passo 2

Primeiro, identificamos dois vetores que estão no plano pi. Como o plano passa pelos pontos A e B, podemos obter o vetor AB:
AB = B - A = (1 - 1, -1 - 1, -1 - 0) = (0, -2, -1)
Além disso, o vetor v = (2, 1, 0) é paralelo ao plano, então ele também está no plano pi.

Passo 3

Agora, com dois vetores que estão no plano ( AB e v) e um ponto conhecido ( A), podemos escrever a equação vetorial do plano. A equação vetorial é dada por:
r = A + s cdot AB + t cdot v
Onde s e t são parâmetros reais.

Passo 4

Substituindo os valores de A, AB e v na equação:
r = (1, 1, 0) + s cdot (0, -2, -1) + t cdot (2, 1, 0)

Passo 5

Agora, vamos escrever as equações paramétricas a partir da equação vetorial. As equações paramétricas descrevem cada coordenada em função dos parâmetros s e t:
x = 1 + 0 cdot s + 2 cdot t = 1 + 2t y = 1 - 2s + 1 cdot t z = 0 - 1 cdot s + 0 cdot t = -s

Resposta

As equações vetorial e paramétricas do plano pi são:
Equação Vetorial:
r = (1, 1, 0) + s cdot (0, -2, -1) + t cdot (2, 1, 0)
Equações Paramétricas:
x = 1 + 2t y = 1 - 2s + t z = -s

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