Resolva os sistemas abaixo usando o método de Gauss-Jordan. Além disso, calcule o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade:
(e) lx+2 y+3 z=0 2 x+y+3 z=0 3 x+2 y+z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. A matéria aqui é Álgebra Linear, focando em sistemas lineares. Vamos precisar montar a matriz aumentada, aplicar as operações de linha para simplificar e, por fim, calcular o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e o grau de liberdade se o sistema for possível.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
1 & 2 & 3 & | & 0 2 & 1 & 3 & | & 0 3 & 2 & 1 & | & 0

Passo 3

Agora, vamos usar o método de Gauss-Jordan para simplificar essa matriz. Nosso objetivo é deixar a matriz na forma escalonada reduzida, onde teremos 1’s na diagonal principal e 0’s abaixo e acima deles.
Primeiro, mantemos a primeira linha como está. Em seguida, eliminamos o primeiro elemento das linhas abaixo da primeira:
  • Linha 2: 2 - 2 times 1 = 0 1 - 2 times 2 = -3 3 - 2 times 3 = -3 0 - 2 times 0 = 0
    3 - 3 times 1 = 0 2 - 3 times 2 = -4 1 - 3 times 3 = -8 0 - 3 times 0 = 0
    A nova Linha 2 fica: 1 & 2 & 3 & | & 0 0 & -3 & -3 & | & 0 0 & -4 & -8 & | & 0
  • Linha 3:
    A nova Linha 3 fica:
Agora, a matriz fica assim:

Passo 4

Vamos agora simplificar a segunda linha para facilitar:
  • Dividimos a Linha 2 por -3 para que o primeiro elemento dela seja 1:
    0 1 1 | 0
    1 & 2 & 3 & | & 0 0 & 1 & 1 & | & 0 0 & -4 & -8 & | & 0
Agora, nossa matriz fica:

Passo 5

Com a Linha 2 simplificada, vamos eliminar os elementos acima e abaixo do pivô na segunda coluna:
  • Linha 1: 1 - 2 times 0 = 1 2 - 2 times 1 = 0 3 - 2 times 1 = 1 0 - 2 times 0 = 0
    0 + 4 times 0 = 0 -4 + 4 times 1 = 0 -8 + 4 times 1 = -4 0 + 4 times 0 = 0
    Nova Linha 1: 1 & 0 & 1 & | & 0 0 & 1 & 1 & | & 0 0 & 0 & -4 & | & 0
  • Linha 3:
    Nova Linha 3:
A matriz agora está assim:

Passo 6

Vamos simplificar a terceira linha para obter um 1 no pivô:
  • Linha 3: 0 0 1 | 0
    1 & 0 & 1 & | & 0 0 & 1 & 1 & | & 0 0 & 0 & 1 & | & 0
Atualizando a matriz:

Passo 7

Agora, vamos eliminar os elementos acima do pivô na terceira coluna:
  • Linha 1: 1 - 0 = 1 0 - 0 = 0 1 - 1 = 0 0 - 0 = 0
    0 - 0 = 0 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 0 - 0 = 0
    Nova Linha 1: 1 & 0 & 0 & | & 0 0 & 1 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & | & 0
  • Linha 2:
    Nova Linha 2:
A matriz final fica:

Passo 8

Com a matriz na forma escalonada reduzida, podemos concluir que a única solução para o sistema é:
x = 0, y = 0, z = 0

Passo 9

Agora, vamos calcular o posto das matrizes:
  • Matriz Ampliada:
    1 & 2 & 3 & | & 0 2 & 1 & 3 & | & 0 3 & 2 & 1 & | & 0
    Após as operações, vimos que há 3 linhas não nulas, então o posto da matriz ampliada é 3.
  • Matriz dos Coeficientes:
    1 & 2 & 3 2 & 1 & 3 3 & 2 & 1
    As operações levaram a 3 pivôs, então o posto da matriz dos coeficientes também é 3.

Passo 10

Como o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes e ambos são iguais ao n��mero de variáveis (3), o sistema é determinado e possui uma única solução. Portanto, o grau de liberdade é 0.

Resposta

A solução do sistema é , e . O posto da matriz ampliada é 3, o posto da matriz dos coeficientes também é 3, e o grau de liberdade é 0.

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