Resolva os sistemas abaixo usando o método de Gauss-Jordan. Além disso, calcule o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade:
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. A matéria aqui é Álgebra Linear, focando em sistemas lineares. Vamos precisar montar a matriz aumentada, aplicar as operações de linha para simplificar e, por fim, calcular o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e o grau de liberdade se o sistema for possível.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
Passo 3
Agora, vamos usar o método de Gauss-Jordan para simplificar essa matriz. Nosso objetivo é deixar a matriz na forma escalonada reduzida, onde teremos 1’s na diagonal principal e 0’s abaixo e acima deles.
Primeiro, mantemos a primeira linha como está. Em seguida, eliminamos o primeiro elemento das linhas abaixo da primeira:
Linha 2:
A nova Linha 2 fica:
Linha 3:
A nova Linha 3 fica:
Agora, a matriz fica assim:
Passo 4
Vamos agora simplificar a segunda linha para facilitar:
Dividimos a Linha 2 por -3 para que o primeiro elemento dela seja 1:
Agora, nossa matriz fica:
Passo 5
Com a Linha 2 simplificada, vamos eliminar os elementos acima e abaixo do pivô na segunda coluna:
Linha 1:
Nova Linha 1:
Linha 3:
Nova Linha 3:
A matriz agora está assim:
Passo 6
Vamos simplificar a terceira linha para obter um 1 no pivô:
Linha 3:
Atualizando a matriz:
Passo 7
Agora, vamos eliminar os elementos acima do pivô na terceira coluna:
Linha 1:
Nova Linha 1:
Linha 2:
Nova Linha 2:
A matriz final fica:
Passo 8
Com a matriz na forma escalonada reduzida, podemos concluir que a única solução para o sistema é:
Passo 9
Agora, vamos calcular o posto das matrizes:
Matriz Ampliada:
Após as operações, vimos que há 3 linhas não nulas, então o posto da matriz ampliada é 3.
Matriz dos Coeficientes:
As operações levaram a 3 pivôs, então o posto da matriz dos coeficientes também é 3.
Passo 10
Como o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes e ambos são iguais ao n��mero de variáveis (3), o sistema é determinado e possui uma única solução. Portanto, o grau de liberdade é 0.
Resposta
A solução do sistema é , e . O posto da matriz ampliada é 3, o posto da matriz dos coeficientes também é 3, e o grau de liberdade é 0.