Resolva os sistemas abaixo usando o método de Gauss-Jordan. Além disso, calcule o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade:
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. A matéria aqui é Álgebra Linear, focando em sistemas lineares. Vamos precisar montar a matriz aumentada, aplicar as operações de linha para simplificar e, por fim, calcular o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e o grau de liberdade se o sistema for possível.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
Agora, vamos usar o método de Gauss-Jordan para simplificar essa matriz. Nosso objetivo é deixar a matriz na forma escalonada reduzida, onde teremos 1’s na diagonal principal e 0’s abaixo e acima deles.
Primeiro, mantemos a primeira linha como está. Em seguida, eliminamos o primeiro elemento das linhas abaixo da primeira:
Linha 2: 2 - 2 times 1 = 0 1 - 2 times 2 = -3 3 - 2 times 3 = -3 0 - 2 times 0 = 0
3 - 3 times 1 = 0 2 - 3 times 2 = -4 1 - 3 times 3 = -8 0 - 3 times 0 = 0
Após as operações, vimos que há 3 linhas não nulas, então o posto da matriz ampliada é 3.
Matriz dos Coeficientes:
1 & 2 & 3 2 & 1 & 3 3 & 2 & 1
As operações levaram a 3 pivôs, então o posto da matriz dos coeficientes também é 3.
Passo 10
Como o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes e ambos são iguais ao n��mero de variáveis (3), o sistema é determinado e possui uma única solução. Portanto, o grau de liberdade é 0.
Resposta
A solução do sistema é , e . O posto da matriz ampliada é 3, o posto da matriz dos coeficientes também é 3, e o grau de liberdade é 0.