Resolva os sistemas abaixo usando o método de Gauss-Jordan. Além disso, calcule o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade:
(e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. A matéria aqui é Álgebra Linear, focando em sistemas lineares. Vamos precisar montar a matriz aumentada, aplicar as operações de linha para simplificar e, por fim, calcular o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e o grau de liberdade se o sistema for possível.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:

Passo 3

Agora, vamos usar o método de Gauss-Jordan para simplificar essa matriz. Nosso objetivo é deixar a matriz na forma escalonada reduzida, onde teremos 1’s na diagonal principal e 0’s abaixo e acima deles.
Primeiro, mantemos a primeira linha como está. Em seguida, eliminamos o primeiro elemento das linhas abaixo da primeira:
  • Linha 2:
    A nova Linha 2 fica:
  • Linha 3:
    A nova Linha 3 fica:
Agora, a matriz fica assim:

Passo 4

Vamos agora simplificar a segunda linha para facilitar:
  • Dividimos a Linha 2 por -3 para que o primeiro elemento dela seja 1:
Agora, nossa matriz fica:

Passo 5

Com a Linha 2 simplificada, vamos eliminar os elementos acima e abaixo do pivô na segunda coluna:
  • Linha 1:
    Nova Linha 1:
  • Linha 3:
    Nova Linha 3:
A matriz agora está assim:

Passo 6

Vamos simplificar a terceira linha para obter um 1 no pivô:
  • Linha 3:
Atualizando a matriz:

Passo 7

Agora, vamos eliminar os elementos acima do pivô na terceira coluna:
  • Linha 1:
    Nova Linha 1:
  • Linha 2:
    Nova Linha 2:
A matriz final fica:

Passo 8

Com a matriz na forma escalonada reduzida, podemos concluir que a única solução para o sistema é:

Passo 9

Agora, vamos calcular o posto das matrizes:
  • Matriz Ampliada:
    Após as operações, vimos que há 3 linhas não nulas, então o posto da matriz ampliada é 3.
  • Matriz dos Coeficientes:
    As operações levaram a 3 pivôs, então o posto da matriz dos coeficientes também é 3.

Passo 10

Como o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes e ambos são iguais ao n��mero de variáveis (3), o sistema é determinado e possui uma única solução. Portanto, o grau de liberdade é 0.

Resposta

A solução do sistema é , e . O posto da matriz ampliada é 3, o posto da matriz dos coeficientes também é 3, e o grau de liberdade é 0.

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Seja uma matriz quadrada de ordem 3 tal que . Calcule:
(f)
Escreva equaçōes vetorial e paramétricas para os planos descritos abaixo:
a) passa por e e é paralelo go vetor .
b) passa por e e é paralelo ao segmento CD , onde e
c) passa pelos pontos e .
d) passa pelos pontos e
Seja a reta que passa pelo ponto e é perpendicular à reta . Determine a distância do ponto à reta .
Resolva a equação de Riccati: .