Escreva equações vetorial e paramétricas para os seguintes plano:
(b) O plano que passa pelo ponoto A=(3,6,-2) e é paralelos às retas: r1: P=(0,1,0)+alpha(5,1,0) e r2: P=(-1,4,2)+beta(3,0,4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrever as equações vetorial e paramétrica de um plano que passa pelo ponto A = (3, 6, -2) e é paralelo às retas r₁ e r₂. Estamos lidando com geometria analítica, especificamente com planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar das direções das retas para definir o plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as direções das retas r₁ e r₂. As retas estão dadas nas formas vetorial:
  • r₁: P = (0, 1, 0) + α(5, 1, 0)
  • r₂: P = (-1, 4, 2) + β(3, 0, 4)
Aqui, os vetores (5, 1, 0) e (3, 0, 4) são os vetores diretores das retas r₁ e r₂, respectivamente.

Passo 3

Como o plano é paralelo às retas r₁ e r₂, os vetores diretores dessas retas também serão vetores diretores do plano. Assim, temos dois vetores que determinam o plano:
  • v = (5, 1, 0)
  • w = (3, 0, 4)

Passo 4

Agora, para escrever a equação vetorial do plano, usamos a forma:
r = r0 + alpha v + beta w
Onde:
  • r = (3, 6, -2) + alpha (5, 1, 0) + beta (3, 0, 4) é um ponto no plano (no caso, o ponto A = (3, 6, -2))
  • e são os vetores diretores do plano
  • e são parâmetros reais
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos separar isso em equações paramétricas. Isso significa expressar cada coordenada (x, y, z) em função dos parâmetros x = 3 + 5alpha + 3beta y = 6 + 1alpha + 0beta z = -2 + 0alpha + 4beta e x = 3 + 5alpha + 3beta y = 6 + alpha z = -2 + 4beta .
A partir da equação vetorial:
Simplificando:

Resposta

A equação vetorial do plano é:
r = (3, 6, -2) + alpha (5, 1, 0) + beta (3, 0, 4)
E as equações paramétricas do plano são:
x = 3 + 5alpha + 3beta y = 6 + alpha z = -2 + 4beta
Onde e são números reais.

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