Escreva equações vetorial e paramétricas para os seguintes plano:
(b) O plano que passa pelo ponoto e é paralelos às retas: r1: e r2:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrever as equações vetorial e paramétrica de um plano que passa pelo ponto A = (3, 6, -2) e é paralelo às retas r₁ e r₂. Estamos lidando com geometria analítica, especificamente com planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar das direções das retas para definir o plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as direções das retas r₁ e r₂. As retas estão dadas nas formas vetorial:
r₁: P = (0, 1, 0) + α(5, 1, 0)
r₂: P = (-1, 4, 2) + β(3, 0, 4)
Aqui, os vetores (5, 1, 0) e (3, 0, 4) são os vetores diretores das retas r₁ e r₂, respectivamente.
Passo 3
Como o plano é paralelo às retas r₁ e r₂, os vetores diretores dessas retas também serão vetores diretores do plano. Assim, temos dois vetores que determinam o plano:
v = (5, 1, 0)
w = (3, 0, 4)
Passo 4
Agora, para escrever a equação vetorial do plano, usamos a forma:
Onde:
é um ponto no plano (no caso, o ponto A = (3, 6, -2))
e são os vetores diretores do plano
e são parâmetros reais
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos separar isso em equações paramétricas. Isso significa expressar cada coordenada (x, y, z) em função dos parâmetros e .
A partir da equação vetorial:
Simplificando:
Resposta
A equação vetorial do plano é:
r = (3, 6, -2) + alpha (5, 1, 0) + beta (3, 0, 4)
E as equações paramétricas do plano são:
x = 3 + 5alpha + 3beta y = 6 + alpha z = -2 + 4beta