Prove a identidade de Jacobi: (u times v) times w+(w times u) times v+(v times w) times u=O

Passo 1

Beleza, vamos provar a Identidade de Jacobi para produtos vetoriais. O que a gente precisa mostrar é que:
(u times v) times w + (w times u) times v + (v times w) times u = 0
Para isso, vamos usar algumas propriedades básicas de produtos vetoriais, especialmente a identidade conhecida como BAC-CAB, que nos ajuda a reescrever expressões com produtos duplos de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a identidade BAC-CAB. Ela diz que, para três vetores A times (B times C) = (A cdot C)B - (A cdot B)C , e :
Essa identidade vai ser essencial para simplificar cada termo da expressão que estamos tentando provar.

Passo 3

Vamos aplicar a identidade BAC-CAB em cada um dos três termos da nossa expressão:
  1. Para (u times v) times w = (u cdot w)v - (v cdot w)u :
(w times u) times v = (w cdot v)u - (u cdot v)w
  1. Para (v times w) times u = (v cdot u)w - (w cdot u)v :
  1. Para :

Passo 4

Agora, vamos somar os três resultados que obtivemos:
(u cdot w)v - (v cdot w)u + (w cdot v)u - (u cdot v)w + (v cdot u)w - (w cdot u)v

Passo 5

Vamos simplificar observando que alguns termos se cancelam:
  • cancela com
  • cancela com
  • cancela com
Assim, todos os termos se anulam um ao outro.

Resposta

Portanto, a soma total resulta no vetor nulo:
(u times v) times w + (w times u) times v + (v times w) times u = 0

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