Prove a identidade de Jacobi:
Passo 1
Beleza, vamos provar a Identidade de Jacobi para produtos vetoriais. O que a gente precisa mostrar é que:
Para isso, vamos usar algumas propriedades básicas de produtos vetoriais, especialmente a identidade conhecida como BAC-CAB, que nos ajuda a reescrever expressões com produtos duplos de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a identidade BAC-CAB. Ela diz que, para três vetores
,
e
:
Essa identidade vai ser essencial para simplificar cada termo da expressão que estamos tentando provar.
Passo 3
Vamos aplicar a identidade BAC-CAB em cada um dos três termos da nossa expressão:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Agora, vamos somar os três resultados que obtivemos:
Passo 5
Vamos simplificar observando que alguns termos se cancelam:
-
cancela com -
cancela com -
cancela com
Assim, todos os termos se anulam um ao outro.
Resposta
Portanto, a soma total resulta no vetor nulo: