Escreva equações vetorial e paramétricas para os seguintes plano:
© O plano que contém a reta r: P=(0,1,0)+alpha(5,1,0) e é paralelo ao vetor v=(2,3,5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente escrever as equações vetorial e paramétricas de um plano. Esse plano precisa conter a reta definida por e ser paralelo ao vetor . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica envolvendo vetores e planos no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa um plano conter uma reta e ser paralelo a um vetor. Um plano que contém uma reta possui todos os pontos dessa reta nele. Além disso, se o plano é paralelo a um vetor, esse vetor está contido no plano ou é paralelo a uma direção dentro do plano.

Passo 3

Vamos identificar dois vetores que estão no plano. A reta é dada pela equação , onde é o vetor diretor da reta. Esse vetor está no plano porque a reta está contida nele.
Além disso, o vetor é paralelo ao plano, então ele também está no plano.

Passo 4

Com esses dois vetores n = u times v e n = i & j & k 5 & 1 & 0 2 & 3 & 5 = i(1 cdot 5 - 0 cdot 3) - j(5 cdot 5 - 0 cdot 2) + k(5 cdot 3 - 1 cdot 2) = (5)i - (25)j + (13)k = (5, -25, 13) que estão no plano, podemos encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos. Para isso, usamos o produto vetorial:
Calculando o produto vetorial:
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 5

Agora que temos o vetor normal n cdot (r - r0) = 0 e um ponto que está no plano (por exemplo, (5, -25, 13) cdot (x - 0, y - 1, z - 0) = 0 ), podemos escrever a equação vetorial do plano usando a seguinte fórmula:
5x - 25(y - 1) + 13z = 0
Onde 5x - 25y + 25 + 13z = 0 implies 5x - 25y + 13z = -25 é um ponto genérico no plano e é um ponto conhecido no plano.
Substituindo os valores:
Isso simplifica para:
Ou seja:

Passo 6

Para escrever a equação paramétrica do plano, precisamos expressar r = r0 + alpha u + beta v , x = 0 + 5alpha + 2beta y = 1 + 1alpha + 3beta z = 0 + 0alpha + 5beta e em termos de dois parâmetros. Podemos usar os vetores e como direções no plano.
Então, a equação paramétrica fica:
Substituindo os valores:

Resposta

As equações do plano são:
Equação Vetorial:
n cdot (r - r0) = 0 implies (5, -25, 13) cdot (x, y, z) = -25
Equações Paramétricas:
x = 5alpha + 2beta y = 1 + alpha + 3beta z = 5beta

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