Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente escrever as equações vetorial e paramétricas de um plano. Esse plano precisa conter a reta definida por e ser paralelo ao vetor . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica envolvendo vetores e planos no espaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa um plano conter uma reta e ser paralelo a um vetor. Um plano que contém uma reta possui todos os pontos dessa reta nele. Além disso, se o plano é paralelo a um vetor, esse vetor está contido no plano ou é paralelo a uma direção dentro do plano.
Passo 3
Vamos identificar dois vetores que estão no plano. A reta é dada pela equação , onde é o vetor diretor da reta. Esse vetor está no plano porque a reta está contida nele.
Além disso, o vetor é paralelo ao plano, então ele também está no plano.
Passo 4
Com esses dois vetores e que estão no plano, podemos encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos. Para isso, usamos o produto vetorial:
Calculando o produto vetorial:
Então, o vetor normal ao plano é .
Passo 5
Agora que temos o vetor normal n cdot (r - r0) = 0 e um ponto que está no plano (por exemplo, (5, -25, 13) cdot (x - 0, y - 1, z - 0) = 0 ), podemos escrever a equação vetorial do plano usando a seguinte fórmula:
5x - 25(y - 1) + 13z = 0
Onde 5x - 25y + 25 + 13z = 0 implies 5x - 25y + 13z = -25 é um ponto genérico no plano e é um ponto conhecido no plano.
Substituindo os valores:
Isso simplifica para:
Ou seja:
Passo 6
Para escrever a equação paramétrica do plano, precisamos expressar r = r0 + alpha u + beta v , x = 0 + 5alpha + 2beta y = 1 + 1alpha + 3beta z = 0 + 0alpha + 5beta e em termos de dois parâmetros. Podemos usar os vetores e como direções no plano.
Então, a equação paramétrica fica:
Substituindo os valores:
Resposta
As equações do plano são:
Equação Vetorial:
n cdot (r - r0) = 0 implies (5, -25, 13) cdot (x, y, z) = -25
Equações Paramétricas:
x = 5alpha + 2beta y = 1 + alpha + 3beta z = 5beta