OBS : indique os valores de que resultem em um sistema possível (diferenciando entre determinado e indeterminado) ou impossível. Além do mais, escreva as soluções para cada caso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações com três incógnitas (, , ) e um parâmetro (). Nosso objetivo é resolver esse sistema e descobrir para quais valores de ele tem solução, seja uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para resolver isso, vamos usar métodos de álgebra linear, como eliminação de variáveis e análise de determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
Vamos tentar simplificar esse sistema passo a passo para encontrar os valores de x, y e z.
Passo 3
Começamos eliminando uma variável para facilitar. Vamos eliminar x usando as duas primeiras equações. Para isso, podemos multiplicar a primeira equação por 2 e subtrair a segunda equação dela:
2(x + 2y + z) - (2x - 2y + 3z) = 2 times 2 - 1
Simplificando:
2x + 4y + 2z - 2x + 2y - 3z = 4 - 1 6y - z = 3
Agora temos uma relação entre y e z.
Passo 4
Vamos chamar essa nova equação de Equação 4:
6y - z = 3 (Equação 4) çã
Agora, vamos usar a Equação 4 e a terceira equação original para eliminar x. Subtrairemos a terceira equação da primeira:
Agora que temos z em termos de a, vamos encontrar y usando a Equação 4:
6y - z = 3 6y - (-a - 4a^2 - 16) = 3
Isolando y:
6y = 3 + -a - 4a^2 - 16 y = 16 (3 + -a - 4a^2 - 16) y = 12 + -a - 46(a^2 - 16)
Passo 7
Agora que temos y e z, vamos encontrar x usando a primeira equação original:
x + 2y + z = 2 x = 2 - 2y - z
Substituindo os valores de y e z que encontramos:
x = 2 - 2(12 + -a - 46(a^2 - 16)) - -a - 4a^2 - 16 x = 2 - 1 - -a - 43(a^2 - 16) + a + 4a^2 - 16 x = 1 + a + 43(a^2 - 16) + a + 4a^2 - 16 x = 1 + 4(a + 4)3(a^2 - 16)
Passo 8
Até agora, encontramos expressões para x, y e z em termos de a. No entanto, precisamos verificar se o denominador a^2 - 16 é diferente de zero para que essas expressões sejam válidas. Isso significa que:
a^2 - 16 neq 0 a^2 neq 16 a neq pm4
Portanto, para a neq pm4, o sistema tem uma solução única.
Passo 9
Agora, vamos considerar os casos especiais onde a = 4 e a = -4.
Caso 1: a = 4
Substituindo a = 4 na equação (a^2 - 16)z = -a - 4:
(16 - 16)z = -4 - 4 0 cdot z = -8
Isso é impossível, pois não existe um z que satisfaça 0 = -8. Portanto, quando a = 4, o sistema é impossível.
Caso 2: a = -4
Substituindo a = -4 na equação (a^2 - 16)z = -a - 4:
(16 - 16)z = 4 - 4 0 cdot z = 0
Isso é verdadeiro para qualquer z, o que significa que temos infinitas soluções quando a = -4.
Resposta
Para valores de a diferentes de 4 e -4, o sistema possui uma solução única dada por:
x = 1 + 4(a + 4)3(a^2 - 16) y = 12 + -a - 46(a^2 - 16) z = -a - 4a^2 - 16
Quando a = -4: O sistema é indeterminado e possui infinitas soluções, com z sendo qualquer número real, e x e y dependendo de z.
Quando a = 4: O sistema é impossível e não possui solução.