Resolva o seguinte sistema de equações:
x+2 y+z=2 2 x-2 y+3 z=1 x-4 y-(a^2-18) z=a+3
OBS : indique os valores de a que resultem em um sistema possível (diferenciando entre determinado e indeterminado) ou impossível. Além do mais, escreva as soluções para cada caso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações com três incógnitas ( x, y, z) e um parâmetro ( a). Nosso objetivo é resolver esse sistema e descobrir para quais valores de a ele tem solução, seja uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para resolver isso, vamos usar métodos de álgebra linear, como eliminação de variáveis e análise de determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
x + 2y + z = 2 2x - 2y + 3z = 1 x - 4y - (a^2 - 18)z = a + 3
Vamos tentar simplificar esse sistema passo a passo para encontrar os valores de x, y e z.

Passo 3

Começamos eliminando uma variável para facilitar. Vamos eliminar x usando as duas primeiras equações. Para isso, podemos multiplicar a primeira equação por 2 e subtrair a segunda equação dela:
2(x + 2y + z) - (2x - 2y + 3z) = 2 times 2 - 1
Simplificando:
2x + 4y + 2z - 2x + 2y - 3z = 4 - 1 6y - z = 3
Agora temos uma relação entre y e z.

Passo 4

Vamos chamar essa nova equação de Equação 4:
6y - z = 3 (Equação 4) çã
Agora, vamos usar a Equação 4 e a terceira equação original para eliminar x. Subtrairemos a terceira equação da primeira:
(x + 2y + z) - (x - 4y - (a^2 - 18)z) = 2 - (a + 3)
Simplificando:
x + 2y + z - x + 4y + (a^2 - 18)z = 2 - a - 3 6y + (a^2 - 17)z = -a - 1
Vamos chamar essa de Equação 5:
6y + (a^2 - 17)z = -a - 1 (Equação 5) çã

Passo 5

Agora temos duas equações com duas incógnitas ( y e z):
6y - z = 3 (Equação 4) 6y + (a^2 - 17)z = -a - 1 (Equação 5) çãçã
Vamos resolver esse sistema para y e z. Podemos subtrair a Equação 4 da Equação 5:
[6y + (a^2 - 17)z] - [6y - z] = (-a - 1) - 3 (a^2 - 16)z = -a - 4
Então, isolando z:
z = -a - 4a^2 - 16

Passo 6

Agora que temos z em termos de a, vamos encontrar y usando a Equação 4:
6y - z = 3 6y - (-a - 4a^2 - 16) = 3
Isolando y:
6y = 3 + -a - 4a^2 - 16 y = 16 (3 + -a - 4a^2 - 16) y = 12 + -a - 46(a^2 - 16)

Passo 7

Agora que temos y e z, vamos encontrar x usando a primeira equação original:
x + 2y + z = 2 x = 2 - 2y - z
Substituindo os valores de y e z que encontramos:
x = 2 - 2(12 + -a - 46(a^2 - 16)) - -a - 4a^2 - 16 x = 2 - 1 - -a - 43(a^2 - 16) + a + 4a^2 - 16 x = 1 + a + 43(a^2 - 16) + a + 4a^2 - 16 x = 1 + 4(a + 4)3(a^2 - 16)

Passo 8

Até agora, encontramos expressões para x, y e z em termos de a. No entanto, precisamos verificar se o denominador a^2 - 16 é diferente de zero para que essas expressões sejam válidas. Isso significa que:
a^2 - 16 neq 0 a^2 neq 16 a neq pm4
Portanto, para a neq pm4, o sistema tem uma solução única.

Passo 9

Agora, vamos considerar os casos especiais onde a = 4 e a = -4.
Caso 1: a = 4
Substituindo a = 4 na equação (a^2 - 16)z = -a - 4:
(16 - 16)z = -4 - 4 0 cdot z = -8
Isso é impossível, pois não existe um z que satisfaça 0 = -8. Portanto, quando a = 4, o sistema é impossível.
Caso 2: a = -4
Substituindo a = -4 na equação (a^2 - 16)z = -a - 4:
(16 - 16)z = 4 - 4 0 cdot z = 0
Isso é verdadeiro para qualquer z, o que significa que temos infinitas soluções quando a = -4.

Resposta

Para valores de a diferentes de 4 e -4, o sistema possui uma solução única dada por:
x = 1 + 4(a + 4)3(a^2 - 16) y = 12 + -a - 46(a^2 - 16) z = -a - 4a^2 - 16
  • Quando a = -4: O sistema é indeterminado e possui infinitas soluções, com z sendo qualquer número real, e x e y dependendo de z.
  • Quando a = 4: O sistema é impossível e não possui solução.

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