Sabendo-se que os elementos da diagonal principal de
são:
, calcule o determinante das matrizes:
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz
cuja diagonal principal tem os elementos
. A questão pede para calcular o determinante de
. Para isso, vamos usar conceitos de determinante de matrizes, inversa de matriz e propriedades de determinantes envolvendo multiplicação e potências de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que quando multiplicamos matrizes com potências, podemos subtrair os expoentes se a base for a mesma. Então:
Portanto, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante de
. Uma propriedade importante do determinante é que, se multiplicarmos uma matriz por um escalar
, o determinante da nova matriz será
vezes o determinante da matriz original, onde
é a dimensão da matriz. Aqui, nossa matriz
é
, então:
Passo 4
Vamos calcular
. Sabemos que o determinante de uma matriz elevada a uma potência é o determinante da matriz original elevado à mesma potência:
Primeiro, precisamos encontrar
. Como
é uma matriz diagonal, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
Então:
Passo 5
Agora, voltamos para
:
Calculando
:
Então:
Resposta
O determinante de
é
.