Sabendo-se que os elementos da diagonal principal de T são: 1,1,2,4,7, calcule o determinante das matrizes:
d) 5 A^-1 cdot A^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz cuja diagonal principal tem os elementos . A questão pede para calcular o determinante de . Para isso, vamos usar conceitos de determinante de matrizes, inversa de matriz e propriedades de determinantes envolvendo multiplicação e potências de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão A^-1 cdot A^3 = A^3 - 1 = A^2 . Sabemos que quando multiplicamos matrizes com potências, podemos subtrair os expoentes se a base for a mesma. Então:
5 A^2
Portanto, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante de det(5 A^2) = 5^5 cdot det(A^2) . Uma propriedade importante do determinante é que, se multiplicarmos uma matriz por um escalar , o determinante da nova matriz será vezes o determinante da matriz original, onde é a dimensão da matriz. Aqui, nossa matriz é , então:

Passo 4

Vamos calcular det(A^2) = (det A)^2 . Sabemos que o determinante de uma matriz elevada a uma potência é o determinante da matriz original elevado à mesma potência:
det A = 1 cdot 1 cdot 2 cdot 4 cdot 7 = 56
Primeiro, precisamos encontrar det(A^2) = 56^2 = 3136 . Como é uma matriz diagonal, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
Então:

Passo 5

Agora, voltamos para det(5 A^2) = 5^5 cdot 3136 :
5^5 = 5 cdot 5 cdot 5 cdot 5 cdot 5 = 3125
Calculando det(5 A^2) = 3125 cdot 3136 = 9,800,000 :
Então:

Resposta

O determinante de é .

Exercícios relacionados