(a) Escreva a expressão da velocidade e da aceleração de um oscilador amortecido cujo deslocamento é dado por x=A e^-gamma t sin (omega t). (b) Determine os valores limite quando gamma<

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que foi pedido. Temos um oscilador amortecido com o deslocamento dado por . Isso faz parte da matéria de mecânica clássica, especificamente no estudo de oscilações. Para resolver esse exercício, vamos precisar usar cálculo diferencial para encontrar a velocidade e a aceleração a partir do deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade v(t) = dxdt . Sabemos que a velocidade é a derivada do deslocamento em relação ao tempo:

Passo 3

Vamos calcular essa derivada. Começamos com:
x(t) = A e^-gamma t sin (omega t)
Aplicando a regra do produto para derivar v(t) = ddt ( A e^-gamma t sin (omega t) ) :
v(t) = A ( ddt e^-gamma t cdot sin (omega t) + e^-gamma t cdot ddt sin (omega t) )
v(t) = A ( -gamma e^-gamma t sin (omega t) + omega e^-gamma t cos (omega t) )
Sabendo que v(t) = A e^-gamma t ( omega cos (omega t) - gamma sin (omega t) ) e , temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a aceleração a(t) = dvdt . A aceleração é a derivada da velocidade:

Passo 5

Vamos derivar a(t) = ddt [ A e^-gamma t ( omega cos (omega t) - gamma sin (omega t) ) ] :
a(t) = A ( ddt e^-gamma t cdot ( omega cos (omega t) - gamma sin (omega t) ) + e^-gamma t cdot ddt ( omega cos (omega t) - gamma sin (omega t) ) )
Aplicando a regra do produto novamente:
ddt e^-gamma t = -gamma e^-gamma t
Calculando as derivadas:
ddt (omega cos (omega t)) = -omega^2 sin (omega t)
ddt (-gamma sin (omega t)) = -gamma omega cos (omega t)
a(t) = A ( -gamma e^-gamma t ( omega cos (omega t) - gamma sin (omega t) ) + e^-gamma t ( -omega^2 sin (omega t) - gamma omega cos (omega t) ) )
Substituindo de volta:
a(t) = -A e^-gamma t ( gamma omega cos (omega t) - gamma^2 sin (omega t) + omega^2 sin (omega t) + gamma omega cos (omega t) )
Simplificando os termos:
a(t) = -A e^-gamma t ( omega^2 sin (omega t) + gamma^2 sin (omega t) )
Os termos com a(t) = -A e^-gamma t (omega^2 + gamma^2) sin (omega t) se cancelam:
Fatorando :

Passo 6

Para a parte (b), queremos determinar os valores limites quando omega^2 + gamma^2 approx omega^2 . Isso significa que a(t) approx -A e^-gamma t omega^2 sin (omega t) é muito menor que , então será negligenciável comparado a . Portanto:
Assim, a expressão da aceleração simplifica para:

Resposta

As expressões da velocidade e da aceleração do oscilador amortecido são:
v(t) = A e^-gamma t ( omega cos (omega t) - gamma sin (omega t) )
a(t) = -A e^-gamma t (omega^2 + gamma^2) sin (omega t)
Quando a(t) approx -A e^-gamma t omega^2 sin (omega t) , a aceleração pode ser aproximada por:

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