(a) Escreva a expressão da velocidade e da aceleração de um oscilador amortecido cujo deslocamento é dado por
. (b) Determine os valores limite quando
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que foi pedido. Temos um oscilador amortecido com o deslocamento dado por
. Isso faz parte da matéria de mecânica clássica, especificamente no estudo de oscilações. Para resolver esse exercício, vamos precisar usar cálculo diferencial para encontrar a velocidade e a aceleração a partir do deslocamento.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade
. Sabemos que a velocidade é a derivada do deslocamento em relação ao tempo:
Passo 3
Vamos calcular essa derivada. Começamos com:
Aplicando a regra do produto para derivar
:
Sabendo que
e
, temos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a aceleração
. A aceleração é a derivada da velocidade:
Passo 5
Vamos derivar
:
Aplicando a regra do produto novamente:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:
Simplificando os termos:
Os termos com
se cancelam:
Fatorando
:
Passo 6
Para a parte (b), queremos determinar os valores limites quando
. Isso significa que
é muito menor que
, então
será negligenciável comparado a
. Portanto:
Assim, a expressão da aceleração simplifica para:
Resposta
As expressões da velocidade e da aceleração do oscilador amortecido são:
Quando
, a aceleração pode ser aproximada por: