Um sistema massa mola com uma constante de 3,24 N / m vibra, com sua posição dada pela equação x= (5,00 cm) cos (3,60 t rad / s). (a) Durante o primeiro ciclo, para 0, quando a energia potencial do sistema se transformando mais rapidamente em energia cinética? (b) Qual é a taxa máxima de transformação de energia?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um sistema massa-mola que está vibrando. A gente vai precisar saber sobre energia potencial e energia cinética em sistemas oscilatórios, além de como identificar quando uma está se transformando na outra mais rapidamente. Para isso, vamos usar as equações de posição e as fórmulas de energia associadas a elas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da posição do sistema:
x(t) = 5,00, cm cdot cos(3,60, t, rad/s)
Aqui, U = 12 k x^2 representa a posição da massa em função do tempo K = 12 m v^2 . Sabemos que a energia potencial ( ) em um sistema mola é dada por:
E a energia cinética ( ) é:
Onde:
  • é a constante da mola,
  • é a massa,
  • é a velocidade da massa.

Passo 3

Como queremos saber quando a energia potencial está se transformando mais rapidamente em energia cinética, precisamos analisar a taxa de variação da energia potencial em relação ao tempo, isto é, dUdt = ddt ( 12 k x^2 ) = k x dxdt .
Diferenciando em relação ao tempo:
Aqui, é a velocidade .

Passo 4

Vamos calcular x(t) = 5,00, cm cdot cos(3,60, t) e x(t) = 0,05, m cdot cos(3,60, t) :
Dada a equação:
v(t) = ddt ( 0,05, cos(3,60, t) ) = -0,05 cdot 3,60, sin(3,60, t) = -0,18, sin(3,60, t), m/s
Primeiro, convertemos 5,00 cm para metros:
Agora, calculamos a velocidade :

Passo 5

Agora, substituímos dUdt = k x(t) v(t) = 3,24, N/m cdot 0,05, cos(3,60, t) cdot (-0,18, sin(3,60, t)) e dUdt = 3,24 times 0,05 times (-0,18) cos(3,60, t) sin(3,60, t) na expressão de dUdt = -0,02916, cos(3,60, t) sin(3,60, t) :
Simplificando:

Passo 6

Para encontrar quando essa taxa é máxima, precisamos encontrar o valor máximo de dUdt = -0,02916 times 12 sin(7,20, t) .
Sabemos que dUdt = -0,01458, sin(7,20, t) . Então:
| dUdt |máx = 0,01458, W
O valor máximo de é 1, então a taxa máxima de transformação de energia é:
á

Resposta

(a) A energia potencial do sistema se transforma mais rapidamente em energia cinética quando , para , etc., durante o primeiro ciclo, isso ocorre em e .
(b) A taxa máxima de transformação de energia é de aproximadamente .

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