Um sistema massa mola com uma constante de vibra, com sua posição dada pela equação . (a) Durante o primeiro ciclo, para , quando a energia potencial do sistema se transformando mais rapidamente em energia cinética? (b) Qual é a taxa máxima de transformação de energia?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um sistema massa-mola que está vibrando. A gente vai precisar saber sobre energia potencial e energia cinética em sistemas oscilatórios, além de como identificar quando uma está se transformando na outra mais rapidamente. Para isso, vamos usar as equações de posição e as fórmulas de energia associadas a elas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da posição do sistema:
Aqui, representa a posição da massa em função do tempo . Sabemos que a energia potencial () em um sistema mola é dada por:
E a energia cinética () é:
Onde:
é a constante da mola,
é a massa,
é a velocidade da massa.
Passo 3
Como queremos saber quando a energia potencial está se transformando mais rapidamente em energia cinética, precisamos analisar a taxa de variação da energia potencial em relação ao tempo, isto é, .
Diferenciando em relação ao tempo:
Aqui, é a velocidade .
Passo 4
Vamos calcular e :
Dada a equação:
Primeiro, convertemos 5,00 cm para metros:
Agora, calculamos a velocidade :
Passo 5
Agora, substituímos e na expressão de :
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar quando essa taxa é máxima, precisamos encontrar o valor máximo de .
Sabemos que . Então:
O valor máximo de é 1, então a taxa máxima de transformação de energia é:
Resposta
(a) A energia potencial do sistema se transforma mais rapidamente em energia cinética quando , para , etc., durante o primeiro ciclo, isso ocorre em e .
(b) A taxa máxima de transformação de energia é de aproximadamente .