Escreva as expressões para a função y(x, t) para uma onda senoidal propagando na direção negativa de x sabendose que ymax =40 cm, lambda=30 cm, f=10 Hz com as seguintes condições iniciais:
a) y(x, 0)=0 em x=0;
& Resposta: 1- y(x, t)=-40 sen(20 pi t+20 pi / 3 x) cm, se phi=pi / 2 & 2- y(x, t)=40 sen(20 pi t+20 pi / 3 x) cm, se phi=-pi / 2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Queremos escrever as expressões para a função de uma onda senoidal que está se propagando na direção negativa de . Temos os seguintes dados:
  • Amplitude máxima da onda: cm
  • Comprimento de onda: cm
  • Frequência: Hz
  • Condição inicial:
Para resolver isso, vamos precisar entender a equação geral de uma onda senoidal e como os parâmetros se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma geral de uma onda senoidal que se propaga ao longo do eixo y(x, t) = ymax cdot sin(kx pm omega t + phi) :
Aqui:
  • é a amplitude máxima da onda.
  • é o número de onda, que relaciona com o comprimento de onda pela fórmula .
  • é a frequência angular, relacionada com a frequência pela fórmula .
  • é a fase inicial da onda.
Como a onda está se propagando na direção negativa de , usamos o sinal positivo antes de na equaç��o.

Passo 3

Vamos calcular os valores de k = 2pilambda = 2pi30 cm = pi15 cm^-1 e omega = 2pi f = 2pi times 10 Hz = 20pi rad/s usando os dados fornecidos:

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na equação geral da onda:
y(x, t) = 40 cdot sin(pi15x + 20pi t + phi) cm

Passo 5

Utilizamos a condição inicial y(0, 0) = 40 cdot sin(0 + 0 + phi) = 0 para encontrar o valor da fase sin(phi) = 0 :
Isso significa que:
As soluções para isso são ou . Mas, para cobrir todas as possibilidades, também consideramos e .

Passo 6

Considerando as diferentes fases possíveis, as expressões para y(x, t) = -40 cdot sin(20pi t + 20pi3x) cm são:
  1. Se y(x, t) = 40 cdot sin(20pi t + 20pi3x) cm :
  1. Se :

Resposta

a) As expressões para a função são:
  1. , se
  2. , se

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