Escreva a forma da decomposição em frações parciais das funções a seguir:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma função racional:
. Nosso objetivo é quebrar essa fração em partes menores chamadas de frações parciais. Isso é útil para integrar funções, por exemplo. Para resolver isso, vamos precisar entender como fatorar o denominador e aplicar as regras de decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o denominador:
. Ele já está fatorado em dois termos:
-
– que é uma raiz dupla, já que aparece ao quadrado. -
– que é um polinômio de segundo grau que não pode ser fatorado mais com números reais.
Passo 3
Agora, vamos montar a forma geral das frações parciais. Para cada fator linear ou quadrático no denominador, associamos uma fração:
- Para
, que é uma raiz dupla, teremos duas frações: e . - Para
, que é um fator quadrático, teremos uma fração da forma .
Então, a decomposição fica:
Passo 4
Nosso próximo passo é encontrar os valores de
,
,
e
. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Passo 5
Vamos expandir e simplificar a equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Termo
: - Termo
: - Termo
: - Termo constante:
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações:
- De
, já sabemos que . - De
e sabendo que , temos . - De
, sabemos que . - De
e sabendo que , temos .
Passo 8
Agora que temos os valores:
Substituímos na decomposição inicial:
Simplificando:
Resposta
A decomposição em frações parciais é:
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Escreva a forma da decomposição em frações parciais das funções a seguir:
a)
a)
Determine uma estimativa para o valor de
.
Resolva as integrais:
c)
c)
Resolva as integrais:
h)
h)