Escreva a forma da decomposição em frações parciais das funções a seguir:
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma função racional: . Nosso objetivo é quebrar essa fração em partes menores chamadas de frações parciais. Isso é útil para integrar funções, por exemplo. Para resolver isso, vamos precisar entender como fatorar o denominador e aplicar as regras de decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador: . Ele já está fatorado em dois termos:
  1. – que é uma raiz dupla, já que aparece ao quadrado.
  2. – que é um polinômio de segundo grau que não pode ser fatorado mais com números reais.

Passo 3

Agora, vamos montar a forma geral das frações parciais. Para cada fator linear ou quadrático no denominador, associamos uma fração:
  • Para , que é uma raiz dupla, teremos duas frações: e .
  • Para , que é um fator quadrático, teremos uma fração da forma .
Então, a decomposição fica:

Passo 4

Nosso próximo passo é encontrar os valores de , , e . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:

Passo 5

Vamos expandir e simplificar a equação:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  • Termo :
  • Termo :
  • Termo :
  • Termo constante:

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
  1. De , já sabemos que .
  2. De e sabendo que , temos .
  3. De , sabemos que .
  4. De e sabendo que , temos .

Passo 8

Agora que temos os valores:
Substituímos na decomposição inicial:
Simplificando:

Resposta

A decomposição em frações parciais é:

Exercícios relacionados

Escreva a forma da decomposição em frações parciais das funções a seguir:
a)
Determine uma estimativa para o valor de .
Resolva as integrais:
c)
Resolva as integrais:
h)