Escreva a forma da decomposição em frações parciais das funções a seguir:
a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente decompor a função em frações parciais. Isso faz parte da matéria de Álgebra, mais especificamente no estudo de Frações Parciais. Para resolver isso, vamos precisar identificar os fatores do denominador e escrever a decomposição seguindo as regras para cada tipo de fator.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador . Temos dois tipos de fatores:
  1. : é um fator linear repetido, ou seja, tem multiplicidade 2.
  2. : é um fator quadrático que não pode ser fatorado mais com números reais.

Passo 3

Com base nisso, a forma geral da decomposição em frações parciais será:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar para os fatores lineares, e é uma expressão linear para o fator quadrático.

Passo 4

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:

Passo 5

Vamos expandir e simplificar o lado direito da equação:

Passo 6

Somando todas as partes:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:

Passo 7

Como as duas expressões devem ser iguais para todo valor de , vamos comparar os coeficientes de cada potência de :
  1. Coeficiente de :
  2. Coeficiente de :
  3. Coeficiente de :
  4. Termo constante:

Passo 8

Agora, temos um sistema de equações para resolver:
Substituindo nas demais equações:

Passo 9

Agora, vamos simplificar e resolver:
Da equação 3:
Dividindo tudo por -2:
Da equação 2:
Substituindo :
Da equação 4:
Substituindo e :

Passo 10

Agora, encontramos . Vamos encontrar e :
E lembrando que

Resposta

A decomposição em frações parciais da função é:

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Determine uma estimativa para o valor de .
Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
Escreva a forma da decomposição em frações parciais das funções a seguir:
b)
Resolva as integrais:
c)