Escreva a forma da decomposição em frações parciais das funções a seguir:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente decompor a função
em frações parciais. Isso faz parte da matéria de Álgebra, mais especificamente no estudo de Frações Parciais. Para resolver isso, vamos precisar identificar os fatores do denominador e escrever a decomposição seguindo as regras para cada tipo de fator.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o denominador
. Temos dois tipos de fatores:
-
: é um fator linear repetido, ou seja, tem multiplicidade 2. -
: é um fator quadrático que não pode ser fatorado mais com números reais.
Passo 3
Com base nisso, a forma geral da decomposição em frações parciais será:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar para os fatores lineares, e
é uma expressão linear para o fator quadrático.
Passo 4
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Passo 5
Vamos expandir e simplificar o lado direito da equação:
Passo 6
Somando todas as partes:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 7
Como as duas expressões devem ser iguais para todo valor de
, vamos comparar os coeficientes de cada potência de
:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Passo 8
Agora, temos um sistema de equações para resolver:
Substituindo
nas demais equações:
Passo 9
Agora, vamos simplificar e resolver:
Da equação 3:
Dividindo tudo por -2:
Da equação 2:
Substituindo
:
Da equação 4:
Substituindo
e
:
Passo 10
Agora, encontramos
. Vamos encontrar
e
:
E lembrando que
Resposta
A decomposição em frações parciais da função é:
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Determine uma estimativa para o valor de
.
Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
Escreva a forma da decomposição em frações parciais das funções a seguir:
b)
b)
Resolva as integrais:
c)
c)