Resolva as integrais:
c)
c)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a integral
. A gente vai usar o conteúdo de frações parciais para simplificar essa expressão e facilitar a integração. Para isso, precisamos fatorar o denominador e expressar a fração original como a soma de frações mais simples que a gente consegue integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Observa que há um fator comum de
:
Então, o denominador fatorado fica
.
Passo 3
Agora, vamos escrever a expressão original como uma soma de frações parciais. Como o denominador fatorado é composto por um fator linear
e um fator quadrático
, podemos escrever:
Aqui,
,
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 4
Para encontrar os valores de
,
e
, multiplicamos ambos os lados da equação acima pelo denominador comum
:
Vamos expandir o lado direito:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações comparando os coeficientes:
- Para
: - Para
: - Para o termo constante:
Vamos resolver esse sistema:
- Da terceira equação:
=> - Da primeira equação:
=> - Já sabemos que
Passo 5
Com os valores encontrados, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
Passo 6
Agora, integrar cada termo separadamente:
- Integração do primeiro termo:
- Integração do segundo termo, que está na forma
:
Para o primeiro integral:
Para o segundo integral:
Resposta
Juntando tudo, a integral fica:
Onde
é a constante de integração.
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Escreva a forma da decomposição em frações parciais das funções a seguir:
b)
b)
Escreva a forma da decomposição em frações parciais das funções a seguir:
a)
a)
Resolva as integrais:
h)
h)
Utilizando o método da Quadratura Gaussiana, determine o valor da integral
.