Resolva as integrais:
c) integral 3 x^2-x+8x^3+4 x d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral integral 3 x^2-x+8x^3+4 x , dx. A gente vai usar o conteúdo de frações parciais para simplificar essa expressão e facilitar a integração. Para isso, precisamos fatorar o denominador e expressar a fração original como a soma de frações mais simples que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 + 4x. Observa que há um fator comum de x:
x^3 + 4x = x(x^2 + 4)
Então, o denominador fatorado fica x(x^2 + 4).

Passo 3

Agora, vamos escrever a expressão original como uma soma de frações parciais. Como o denominador fatorado é composto por um fator linear x e um fator quadrático x^2 + 4, podemos escrever:
3x^2 - x + 8x(x^2 + 4) = Ax + Bx + Cx^2 + 4
Aqui, A, B e C são constantes que vamos determinar.

Passo 4

Para encontrar os valores de A, B e C, multiplicamos ambos os lados da equação acima pelo denominador comum x(x^2 + 4):
3x^2 - x + 8 = A(x^2 + 4) + (Bx + C)x
Vamos expandir o lado direito:
3x^2 - x + 8 = A x^2 + 4A + Bx^2 + Cx
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
3x^2 - x + 8 = (A + B)x^2 + Cx + 4A
Isso nos dá o seguinte sistema de equações comparando os coeficientes:
  1. Para x^2: A + B = 3
  2. Para x: C = -1
  3. Para o termo constante: 4A = 8
Vamos resolver esse sistema:
  • Da terceira equação: 4A = 8 => A = 2
  • Da primeira equação: 2 + B = 3 => B = 1
  • Já sabemos que C = -1

Passo 5

Com os valores encontrados, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
3x^2 - x + 8x(x^2 + 4) = 2x + 1x - 1x^2 + 4 = 2x + x - 1x^2 + 4

Passo 6

Agora, integrar cada termo separadamente:
  1. Integração do primeiro termo:
integral 2x , dx = 2 ln|x| + C1
  1. Integração do segundo termo, que está na forma Bx + Cx^2 + a^2:
integral x - 1x^2 + 4 , dx = integral xx^2 + 4 , dx - integral 1x^2 + 4 , dx
Para o primeiro integral:
integral xx^2 + 4 , dx = 12 ln|x^2 + 4| + C2
Para o segundo integral:
integral 1x^2 + 4 , dx = 12 arctan(x2) + C3

Resposta

Juntando tudo, a integral fica:
integral 3 x^2-x+8x^3+4 x , dx = 2 ln|x| + 12 ln|x^2 + 4| - 12 arctan(x2) + C
Onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados