Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você enviou. A gente precisa usar o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para verificar se a série converge ou não. Vamos precisar lembrar como esses critérios funcionam e identificar uma série com a qual podemos comparar a nossa para tirar uma conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor os termos da nossa série: . Conforme aumenta, fica cada vez menor, tendendo a zero. Sabemos que, para valores pequenos de , o seno de pode ser aproximado por , ou seja, quando é próximo de zero. Isso é importante para simplificar nossa série.

Passo 3

Com essa aproximação, podemos dizer que para valores grandes de :
Isso nos sugere que a série se comporta de maneira semelhante à série .

Passo 4

Agora, vamos lembrar do Teste da Série p. Uma série da forma converge se e diverge se . No nosso caso, temos , então a série é convergente.

Passo 5

Como queremos comparar nossa série original com uma série que já sabemos se converge ou não, vamos usar o Critério da Comparação pelo Limite. Esse critério diz que se , onde é um número real positivo, então ambas as séries e convergem ou divergem juntas.

Passo 6

Aplicando isso, vamos definir:
Agora, calculamos o limite:

Passo 7

Sabemos que . No nosso caso, conforme , . Portanto:
Esse limite é um número real positivo (no caso, igual a 1).

Passo 8

Pelo Critério da Comparação pelo Limite, como o limite é positivo e a série comparativa converge, podemos concluir que a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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Escreva a forma da decomposição em frações parciais das funções a seguir:
(a)
(f)
(b)
(g)
©
(h)
(d)
(i)
(e)
(j)
Determine uma estimativa para o valor de .
Escreva a forma da decomposição em frações parciais das funções a seguir:
a)