Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você enviou. A gente precisa usar o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para verificar se a série
converge ou não. Vamos precisar lembrar como esses critérios funcionam e identificar uma série com a qual podemos comparar a nossa para tirar uma conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor os termos da nossa série:
. Conforme
aumenta,
fica cada vez menor, tendendo a zero. Sabemos que, para valores pequenos de
, o seno de
pode ser aproximado por
, ou seja,
quando
é próximo de zero. Isso é importante para simplificar nossa série.
Passo 3
Com essa aproximação, podemos dizer que para valores grandes de
:
Isso nos sugere que a série
se comporta de maneira semelhante à série
.
Passo 4
Agora, vamos lembrar do Teste da Série p. Uma série da forma
converge se
e diverge se
. No nosso caso, temos
, então a série
é convergente.
Passo 5
Como queremos comparar nossa série original com uma série que já sabemos se converge ou não, vamos usar o Critério da Comparação pelo Limite. Esse critério diz que se
, onde
é um número real positivo, então ambas as séries
e
convergem ou divergem juntas.
Passo 6
Aplicando isso, vamos definir:
Agora, calculamos o limite:
Passo 7
Sabemos que
. No nosso caso, conforme
,
. Portanto:
Esse limite é um número real positivo (no caso, igual a 1).
Passo 8
Pelo Critério da Comparação pelo Limite, como o limite é positivo e a série comparativa
converge, podemos concluir que a série original
também converge.
Resposta
A série
converge.
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Escreva a forma da decomposição em frações parciais das funções a seguir:
(a)
(f)
(b)
(g)
©
(h)
(d)
(i)
(e)
(j)
(f)
(b)
(g)
©
(h)
(d)
(i)
(e)
(j)
Determine uma estimativa para o valor de
.
Escreva a forma da decomposição em frações parciais das funções a seguir:
a)
a)