(a) y' - y = 2t e^(2t), y(0) = 1
(b) y' + 2y = t e^(-2t), y(1) = 0
© y' - 2y = e^(2t), y(0) = 2
(d) t y' + 2 y = t^2 - t + 1, y(1) = 1/2
(e) t y' + 2 y = sent, y(pi/2) = 1

Passo 1

Então, a gente tem a equação diferencial com a condição inicial . A matéria que vamos usar aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, a gente vai precisar usar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de equações lineares: . No nosso caso, temos e .

Passo 3

Agora, a gente calcula o fator integrante, que é . Então:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Simplificando, fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados por para isolar :

Passo 7

Usamos a condição inicial para encontrar :

Resposta

A solução da equação é .

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