Escreva a forma da decomposição em frações parciais das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decompor em frações parciais a função
. Isso faz parte da matéria de Álgebra, mais especificamente sobre frações parciais. Para resolver, a gente vai precisar fatorar o denominador e então expressar a fração original como a soma de frações mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Precisamos encontrar dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
, então:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, nosso objetivo é escrever a fração
como a soma de duas frações mais simples. Vamos supor que:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Passo 5
Agora, vamos expandir e simplificar a expressão do lado direito:
Passo 6
Para que as duas expressões sejam iguais para todo
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 7
Vamos resolver o sistema:
- Da primeira equação:
- Substituindo na segunda equação:
- Assim,
Passo 8
Ops! Parece que chegamos a
e
, o que não faz sentido. Isso aconteceu porque o numerador
tem o mesmo grau que o denominador
. Nesse caso, antes de decompor, precisamos fazer uma divisão polinomial.
Passo 9
Vamos dividir
por
:
Agora, vamos decompor
em frações parciais.
Passo 10
Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 11
Expandindo:
Então, temos o sistema:
Passo 12
Resolvendo o sistema:
- Da primeira equação:
- Substituindo na segunda equação:
- Então,
Resposta
Portanto, a decomposição em frações parciais da função
é:
Exercícios relacionados
(a)
(f)
(b)
(g)
©
(h)
(d)
(i)
(e)
(j)
(f)
(b)
(g)
©
(h)
(d)
(i)
(e)
(j)
Escreva a forma da decomposição em frações parciais das funções a seguir:
Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
Determine uma estimativa para o valor de
.