Escreva a forma da decomposição em frações parciais das funções a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decompor em frações parciais a função . Isso faz parte da matéria de Álgebra, mais especificamente sobre frações parciais. Para resolver, a gente vai precisar fatorar o denominador e então expressar a fração original como a soma de frações mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Precisamos encontrar dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e , então:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, nosso objetivo é escrever a fração como a soma de duas frações mais simples. Vamos supor que:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum :

Passo 5

Agora, vamos expandir e simplificar a expressão do lado direito:

Passo 6

Para que as duas expressões sejam iguais para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 7

Vamos resolver o sistema:
  1. Da primeira equação:
  2. Substituindo na segunda equação:
  1. Assim,

Passo 8

Ops! Parece que chegamos a e , o que não faz sentido. Isso aconteceu porque o numerador tem o mesmo grau que o denominador . Nesse caso, antes de decompor, precisamos fazer uma divisão polinomial.

Passo 9

Vamos dividir por :
Agora, vamos decompor em frações parciais.

Passo 10

Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 11

Expandindo:
Então, temos o sistema:

Passo 12

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação:
  2. Substituindo na segunda equação:
  1. Então,

Resposta

Portanto, a decomposição em frações parciais da função é:

Exercícios relacionados

(a)
(f)
(b)
(g)
©
(h)
(d)
(i)
(e)
(j)
Escreva a forma da decomposição em frações parciais das funções a seguir:
Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
Determine uma estimativa para o valor de .