Escreva na forma polar, na forma
e represente no plano complexo os pontos
, onde:
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois números complexos
e
. Precisamos:
- Escrever
e na forma polar . - Representar esses pontos no plano complexo.
- Calcular
, e e também escrever essas expressões na forma polar. - Representar todos esses pontos no plano complexo.
Para resolver isso, vamos precisar entender a forma polar dos números complexos e como multiplicar e dividir números na forma polar.
Passo 2
Vamos começar convertendo
para a forma polar. A forma polar é dada por
, onde:
-
é o módulo do número complexo. -
é o argumento (ângulo) do número complexo.
Primeiro, calculamos o módulo
:
onde
é a parte real e
é a parte imaginária.
Para
:
Agora, calculamos o argumento
:
Para
:
Então, a forma polar de
é:
Passo 3
Agora, vamos converter
para a forma polar.
Para
, a parte real
e a parte imaginária
.
Calculando o módulo
:
Calculando o argumento
:
Como a parte real é zero e a parte imaginária é positiva, o ângulo é:
Então, a forma polar de
é:
Passo 4
Agora que temos
e
na forma polar, vamos calcular
.
Quando multiplicamos dois números complexos na forma polar, multiplicamos os módulos e somamos os argumentos:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos calcular
.
Quando dividimos dois números complexos na forma polar, dividimos os módulos e subtraímos os argumentos:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos calcular
.
Usando a mesma lógica da divisão na forma polar:
Substituindo os valores:
Resposta
As formas polares dos números complexos e suas representações são:
Esses pontos podem ser representados no plano complexo com os módulos como distâncias do ponto à origem e os argumentos como ângulos em relação ao eixo positivo real.
Exercícios relacionados
Reduza à forma
cada uma das seguintes expressões:
.
Nos problemas 25-30, resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo
sobre o qual a solução está definida.
Escreva na forma polar, na forma
e represente no plano complexo os pontos
, onde:
e
.
Escreva na forma polar e represente no plano complexo os seguintes pontos.
.