Escreva na forma polar, na forma e represente no plano complexo os pontos , onde: e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois números complexos e . Precisamos:
  1. Escrever e na forma polar .
  2. Representar esses pontos no plano complexo.
  3. Calcular , e e também escrever essas expressões na forma polar.
  4. Representar todos esses pontos no plano complexo.
Para resolver isso, vamos precisar entender a forma polar dos números complexos e como multiplicar e dividir números na forma polar.

Passo 2

Vamos começar convertendo para a forma polar. A forma polar é dada por , onde:
  • é o módulo do número complexo.
  • é o argumento (ângulo) do número complexo.
Primeiro, calculamos o módulo :
onde é a parte real e é a parte imaginária.
Para :
Agora, calculamos o argumento :
Para :
Então, a forma polar de é:

Passo 3

Agora, vamos converter para a forma polar.
Para , a parte real e a parte imaginária .
Calculando o módulo :
Calculando o argumento :
Como a parte real é zero e a parte imaginária é positiva, o ângulo é:
Então, a forma polar de é:

Passo 4

Agora que temos e na forma polar, vamos calcular .
Quando multiplicamos dois números complexos na forma polar, multiplicamos os módulos e somamos os argumentos:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos calcular .
Quando dividimos dois números complexos na forma polar, dividimos os módulos e subtraímos os argumentos:
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, vamos calcular .
Usando a mesma lógica da divisão na forma polar:
Substituindo os valores:

Resposta

As formas polares dos números complexos e suas representações são:
Esses pontos podem ser representados no plano complexo com os módulos como distâncias do ponto à origem e os argumentos como ângulos em relação ao eixo positivo real.

Exercícios relacionados

Reduza à forma cada uma das seguintes expressões: .
Nos problemas 25-30, resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
Escreva na forma polar, na forma e represente no plano complexo os pontos , onde: e .
Escreva na forma polar e represente no plano complexo os seguintes pontos. .