Escreva na forma polar e represente no plano complexo os seguintes pontos.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um número complexo
e precisamos escrevê-lo na forma polar e representá-lo no plano complexo. Para isso, vamos usar a forma polar dos números complexos, que envolve o módulo (a distância até a origem) e o argumento (o ângulo em relação ao eixo real). Também vamos precisar aplicar a fórmula de De Moivre para potências de números complexos.
Passo 2
Vamos começar convertendo o numerador
para a forma polar.
Para isso, precisamos encontrar o módulo
e o argumento
:
- Módulo
:
- Argumento
:
Como ambos os componentes são negativos, o número está no terceiro quadrante. Calculamos o ângulo base:
Como está no terceiro quadrante, adicionamos
:
Portanto, na forma polar, o numerador fica:
Passo 3
Agora, vamos converter o denominador
para a forma polar.
Primeiro, expressamos
na forma polar:
- Módulo
:
- Argumento
:
Portanto,
na forma polar é:
Agora, elevamos essa forma a 50ª potência usando a fórmula de De Moivre:
Passo 4
Simplificamos o argumento do denominador:
Para trazer o ângulo para dentro do intervalo
, subtraímos múltiplos de
:
Então, o denominador na forma polar fica:
Passo 5
Agora, vamos escrever a fração completa na forma polar, dividindo o numerador pelo denominador:
Simplificando os termos:
E o argumento fica:
Portanto, a forma polar da fração é:
Resposta
A forma polar do número complexo é:
Você pode representá-lo no plano complexo com módulo
e ângulo
.
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Escreva na forma polar, na forma
e represente no plano complexo os pontos
, onde:
e
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