Escreva na forma polar e represente no plano complexo os seguintes pontos. .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um número complexo e precisamos escrevê-lo na forma polar e representá-lo no plano complexo. Para isso, vamos usar a forma polar dos números complexos, que envolve o módulo (a distância até a origem) e o argumento (o ângulo em relação ao eixo real). Também vamos precisar aplicar a fórmula de De Moivre para potências de números complexos.

Passo 2

Vamos começar convertendo o numerador para a forma polar.
Para isso, precisamos encontrar o módulo e o argumento :
  • Módulo :
  • Argumento :
Como ambos os componentes são negativos, o número está no terceiro quadrante. Calculamos o ângulo base:
Como está no terceiro quadrante, adicionamos :
Portanto, na forma polar, o numerador fica:

Passo 3

Agora, vamos converter o denominador para a forma polar.
Primeiro, expressamos na forma polar:
  • Módulo :
  • Argumento :
Portanto, na forma polar é:
Agora, elevamos essa forma a 50ª potência usando a fórmula de De Moivre:

Passo 4

Simplificamos o argumento do denominador:
Para trazer o ângulo para dentro do intervalo , subtraímos múltiplos de :
Então, o denominador na forma polar fica:

Passo 5

Agora, vamos escrever a fração completa na forma polar, dividindo o numerador pelo denominador:
Simplificando os termos:
E o argumento fica:
Portanto, a forma polar da fração é:

Resposta

A forma polar do número complexo é:
Você pode representá-lo no plano complexo com módulo e ângulo .

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