Escreva na forma polar, na forma r * e^(i * theta) e represente no plano complexo os pontos z, w, zw, z/w e w/z, onde: z = (1 + i * raiz(3)) / 2 e w = (-raiz(3) + i) / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever os números complexos , , , e na forma polar, que é . Depois, também vamos representar esses pontos no plano complexo.
Para isso, vamos precisar entender como converter números complexos da forma retangular para a forma polar . Vamos usar fórmulas de módulo e argumento para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os números complexos:

Passo 3

Agora, vamos converter para a forma polar. Para isso, precisamos encontrar o módulo e o argumento .
O módulo é dado por:
O argumento é o ângulo cuja tangente é:
Então, na forma polar é:

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para .
O módulo de é:
O argumento é:
Como está no segundo quadrante, adicionamos ao ângulo:
Então, na forma polar é:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Na forma polar, multiplicar dois números complexos é simples: multiplicamos os módulos e somamos os argumentos.
Como ambos e têm módulo 1:
Então,

Passo 6

Vamos calcular . Para dividir na forma polar, dividimos os módulos e subtraímos os argumentos.
Módulo:
Argumento:
Como o ângulo negativo pode ser representado como , temos:

Passo 7

Finalmente, vamos calcular .
Módulo:
Argumento:
Então,

Resposta

As formas polares dos números complexos são:
E no plano complexo, esses pontos são representados nos respectivos ângulos com raio 1.

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