Escreva na forma polar, na forma e represente no plano complexo os pontos , onde: e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever os números complexos , , , e na forma polar, que é . Depois, também vamos representar esses pontos no plano complexo.
Para isso, vamos precisar entender como converter números complexos da forma retangular para a forma polar . Vamos usar fórmulas de módulo e argumento para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os números complexos:
Passo 3
Agora, vamos converter para a forma polar. Para isso, precisamos encontrar o módulo e o argumento .
O módulo é dado por:
O argumento é o ângulo cuja tangente é:
Então, na forma polar é:
Passo 4
Vamos fazer o mesmo para .
O módulo de é:
O argumento é:
Como está no segundo quadrante, adicionamos ao ângulo:
Então, na forma polar é:
Passo 5
Agora, vamos calcular . Na forma polar, multiplicar dois números complexos é simples: multiplicamos os módulos e somamos os argumentos.
Como ambos e têm módulo 1:
Então,
Passo 6
Vamos calcular . Para dividir na forma polar, dividimos os módulos e subtraímos os argumentos.
Módulo:
Argumento:
Como o ângulo negativo pode ser representado como , temos:
Passo 7
Finalmente, vamos calcular .
Módulo:
Argumento:
Então,
Resposta
As formas polares dos números complexos são:
E no plano complexo, esses pontos são representados nos respectivos ângulos com raio 1.