Reduza à forma a + b i cada uma das seguintes expressões: ((1+i)/(1-i))^30.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para simplificar a expressão e colocar na forma . Isso envolve trabalhar com números complexos, que têm uma parte real e uma parte imaginária. Vamos precisar usar algumas regras de álgebra para simplificar frações com números complexos e depois aplicar potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração . Quando temos uma fração com números complexos no denominador, é útil multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador para eliminar a parte imaginária do denominador.
O conjugado de é . Então, multiplicamos numerador e denominador por :

Passo 3

Agora, vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Primeiro, o numerador:
Sabemos que , então:
Agora, o denominador:
Novamente, , então:
Então, a fração simplificada fica:

Passo 4

Agora que simplificamos para , queremos calcular . Para isso, vamos lembrar que os poderes de se repetem a cada 4:
E esse ciclo se repete. Então, para , podemos dividir o expoente por 4 e ver o resto para encontrar o resultado.
Isso significa que tem o mesmo valor que , que é .

Passo 5

Portanto, . A forma nesse caso é simplesmente , já que não há parte imaginária.

Resposta

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