Reduza à forma
cada uma das seguintes expressões:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para simplificar a expressão
e colocar na forma
. Isso envolve trabalhar com números complexos, que têm uma parte real e uma parte imaginária. Vamos precisar usar algumas regras de álgebra para simplificar frações com números complexos e depois aplicar potências.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração
. Quando temos uma fração com números complexos no denominador, é útil multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador para eliminar a parte imaginária do denominador.
O conjugado de
é
. Então, multiplicamos numerador e denominador por
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Primeiro, o numerador:
Sabemos que
, então:
Agora, o denominador:
Novamente,
, então:
Então, a fração simplificada fica:
Passo 4
Agora que simplificamos
para
, queremos calcular
. Para isso, vamos lembrar que os poderes de
se repetem a cada 4:
E esse ciclo se repete. Então, para
, podemos dividir o expoente por 4 e ver o resto para encontrar o resultado.
Isso significa que
tem o mesmo valor que
, que é
.
Passo 5
Portanto,
. A forma
nesse caso é simplesmente
, já que não há parte imaginária.
Resposta
Exercícios relacionados
Nos problemas 25-30, resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo
sobre o qual a solução está definida.
Reduza à forma
cada uma das seguintes expressões:
.
Escreva na forma polar, na forma
e represente no plano complexo os pontos
, onde:
e
.
Escreva na forma polar, na forma
e represente no plano complexo os pontos
, onde:
e
.