Mostre que o único ponto crítico de é ponto de mínimo local.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função . O exercício pede para mostrar que o único ponto crítico dessa função é um ponto de mínimo local. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, como encontrar derivadas parciais e analisar a matriz Hessiana para determinar a natureza do ponto crítico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e e igualá-las a zero.
A derivada parcial em relação a é:
Em relação a :
Em relação a :
Passo 3
Agora, igualamos cada derivada parcial a zero para encontrar as equações do sistema:
Passo 4
Resolvendo a equação (3) primeiro:
Passo 5
Agora, da equação (2):
Passo 6
Substituindo na equação (1):
Passo 7
Agora, com , encontramos :
Passo 8
Assim, o único ponto crítico é .
Passo 9
Para determinar se esse ponto é um mínimo local, precisamos analisar a matriz Hessiana da função . A matriz Hessiana é composta pelas segundas derivadas parciais:
Calculando cada elemento:
Então,
Passo 10
Para verificar se o ponto é um mínimo, precisamos verificar se a matriz Hessiana é positiva definida. Uma matriz é positiva definida se todos os seus menores principais determinantes forem positivos.
Calculando os determinantes:
O primeiro menor:
O segundo menor:
O determinante completo:
Como todos os determinantes são positivos, a matriz Hessiana é positiva definida.
Resposta
O único ponto crítico da função é e é um ponto de mínimo local.