Seja f(x, y) = raiz_cubica(x^3 - y^3 - 6*x^2 + 12*x - 8). Calcule, caso existam, f_x(2,0) e f_y(2,0).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa calcular as derivadas parciais de nos pontos . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas e entender como calcular derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a diferenciação:
Agora, para encontrar a derivada parcial em relação a , , usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.
Então, a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a , , novamente aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

Vamos agora avaliar essas derivadas no ponto . Primeiro, substituímos e na expressão dentro da raiz cúbica:
Isso significa que a expressão dentro da raiz cúbica é zero no ponto . Agora, observando as derivadas parciais:
Como estamos multiplicando infinito por zero, essas expressões são indefinidas. Portanto, as derivadas parciais e não existem nesse ponto.

Resposta

As derivadas parciais e não existem.

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