Seja
. Calcule, caso existam,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa calcular as derivadas parciais de
nos pontos
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas e entender como calcular derivadas de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a diferenciação:
Agora, para encontrar a derivada parcial em relação a
,
, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.
Então, a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
,
, novamente aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Vamos agora avaliar essas derivadas no ponto
. Primeiro, substituímos
e
na expressão dentro da raiz cúbica:
Isso significa que a expressão dentro da raiz cúbica é zero no ponto
. Agora, observando as derivadas parciais:
Como estamos multiplicando infinito por zero, essas expressões são indefinidas. Portanto, as derivadas parciais
e
não existem nesse ponto.
Resposta
As derivadas parciais
e
não existem.