Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Passo 1
Vamos resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) para verificar se ela é exata. Se não for, vamos encontrar um fator integrante para torná-la exata e, por fim, encontrar a solução geral da EDO. A equação que vamos analisar é:
Passo 2
Primeiro, identificamos os termos da EDO na forma padrão:
Aqui, temos:
Passo 3
Para verificar se a EDO é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
e ver se são iguais.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Comparando as derivadas parciais:
Como
, a EDO é exata.
Passo 5
Como a equação é exata, sabemos que existe uma função
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Onde
é uma função de
que surge da integração.
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando com
, temos:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Passo 7
Portanto, a função
é dada por:
A solução geral da EDO é encontrada colocando
:
Resposta
A solução geral da EDO é
, onde
é uma constante.
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Escreva a forma quadrática
associada à matriz simétrica
e classifique-a (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida):
(9.4)
(9.4)