Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
(e^y - y e^x) + (x e^y - e^x) dy/dx = 0

Passo 1

Vamos resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) para verificar se ela é exata. Se não for, vamos encontrar um fator integrante para torná-la exata e, por fim, encontrar a solução geral da EDO. A equação que vamos analisar é:

Passo 2

Primeiro, identificamos os termos da EDO na forma padrão:
Aqui, temos:

Passo 3

Para verificar se a EDO é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a e ver se são iguais.
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Comparando as derivadas parciais:
Como , a EDO é exata.

Passo 5

Como a equação é exata, sabemos que existe uma função tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Onde é uma função de que surge da integração.

Passo 6

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando com , temos:
Isso implica que , então é uma constante, que podemos chamar de .

Passo 7

Portanto, a função é dada por:
A solução geral da EDO é encontrada colocando :

Resposta

A solução geral da EDO é , onde é uma constante.

Exercícios relacionados

Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
x^3 + y^3 * dy/dx = 0
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
e^(2 x)(2 cos y dx - sen y dy) = 0, y(0) = 0
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
e^(-2 theta) - 2 r e^(-2 theta) d theta / d r = 0
Escreva a forma quadrática Q(h1, h2) associada à matriz simétrica A e classifique-a (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida):
(9.4) A = [[2, 4], [4, 8]]