Escreva a fórmula para os coeficientes de Fourier, bem como a série de Fourier, para o caso em que
é contínua por pedaços em
e
a)
é 10 - periódica, par e contínua por pedaços em
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para escrevermos a fórmula dos coeficientes de Fourier e a série de Fourier para uma função
que é contínua por partes,
-periódica, e par (ou seja,
) no intervalo
. Vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier para funções pares e como a periodicidade influencia nas fórmulas.
Passo 2
Primeiro, como a função é par, sabemos que na série de Fourier só teremos termos de cosseno. Isso porque os termos de seno são ímpares e, por ser uma função par, eles desaparecem na série. Então, nossa série de Fourier vai ter apenas os coeficientes
e
.
Passo 3
A função é 10-periódica, o que significa que o período
é
. Na fórmula dos coeficientes de Fourier, usamos
. Isso vai nos ajudar a ajustar as integrais para encontrar os coeficientes corretos.
Passo 4
Vamos escrever as fórmulas dos coeficientes de Fourier para uma função par e
-periódica:
-
Coeficiente
: Como a função é par, podemos simplificar para: -
Coeficientes
: Novamente, usando a paridade da função:
Passo 5
Agora, juntando tudo, a série de Fourier para
será:
Onde:
Resposta
A fórmula dos coeficientes de Fourier e a série de Fourier para a função
são:
E a série de Fourier é:
Exercícios relacionados
Verifique se as funções abaixo são pares ou ímpares ou não são nem pares nem ímpares:
a)
a)
Para os exercícios 7-YY, dada uma função
e um contorno
, use parametrizações de
, ou pedaços de
, para calcular
-
é definida em termos da equação
e
é o arco de
a
ao longo da curva
.
Supondo que as funções abaixo sejam
- periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a) se
a)
Se
tem série de Fourier dada por
quais os valores de:
a)
a)