Para os exercícios 7-YY, dada uma função e um contorno , use parametrizações de , ou pedaços de , para calcular
  1. é definida em termos da equação
e é o arco de a ao longo da curva .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que muda dependendo do valor de (a parte imaginária de ). Além disso, precisamos calcular uma integral ao longo de um caminho específico no plano complexo, que é a curva indo de até .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva pela qual vamos integrar. A curva é definida por e vai de até . Isso significa que podemos parametrizar nossa curva usando como parâmetro. Então, temos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para usar na nossa integral de linha. Então,

Passo 4

A função é definida de forma diferente dependendo de :
  • Quando (ou seja, quando , ou seja, ), .
  • Quando (quando ), .
Então, vamos dividir nossa integral em duas partes: de a e de a .

Passo 5

Vamos calcular a primeira parte da integral, onde vai de a e :
Resolvendo essa integral:

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda parte da integral, onde vai de a e :
Resolvendo essa integral:

Passo 7

Finalmente, somamos as duas partes da integral para obter o resultado total:

Resposta

O valor da integral é .

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  1. e é a fronteira do quadrado com vértices nos pontos e orientado no sentido anti-horário.
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  1. e é o arco de a consistindo do
    b) segmento do eixo real.
Verifique se as funções abaixo são pares ou ímpares ou não são nem pares nem ímpares:
a)
Escreva a fórmula para os coeficientes de Fourier, bem como a série de Fourier, para o caso em que é contínua por pedaços em e
a) é 10 - periódica, par e contínua por pedaços em .