Para os exercícios 7-YY, dada uma função f e um contorno C, use parametrizações de C, ou pedaços de C, para calcular
integralC f(z) d z
  1. f(z) é definida em termos da equação
f(z)=1 quando y<0, e f(z)=4 y quando y>0
e C é o arco de z=-1-i a z=1+i ao longo da curva y=x^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que muda dependendo do valor de (a parte imaginária de ). Além disso, precisamos calcular uma integral ao longo de um caminho específico no plano complexo, que é a curva indo de até .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva z(x) = x + i x^3 com x in [-1, 1] pela qual vamos integrar. A curva é definida por e vai de até . Isso significa que podemos parametrizar nossa curva usando como parâmetro. Então, temos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dzdx = 1 + i cdot 3x^2 = 1 + 3i x^2 em relação a para usar na nossa integral de linha. Então,

Passo 4

A função é definida de forma diferente dependendo de :
  • Quando (ou seja, quando , ou seja, ), .
  • Quando (quando ), .
Então, vamos dividir nossa integral em duas partes: de a e de a .

Passo 5

Vamos calcular a primeira parte da integral, onde integral-1^0 f(z) dzdx dx = integral-1^0 1 cdot (1 + 3i x^2) dx vai de integral-1^0 (1 + 3i x^2) dx = [ x + i x^3 ]-1^0 = (0 + 0) - (-1 + i (-1)^3) = 1 - i(-1) = 1 + i a e :
Resolvendo essa integral:

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda parte da integral, onde integral0^1 f(z) dzdx dx = integral0^1 4x^3 cdot (1 + 3i x^2) dx = integral0^1 (4x^3 + 12i x^5) dx vai de integral0^1 4x^3 dx + integral0^1 12i x^5 dx = [ x^4 ]0^1 + [ 2i x^6 ]0^1 = 1 - 0 + 2i(1 - 0) = 1 + 2i a e :
Resolvendo essa integral:

Passo 7

Finalmente, somamos as duas partes da integral para obter o resultado total:
(1 + i) + (1 + 2i) = 2 + 3i

Resposta

O valor da integral é .

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