Escreva a fórmula para os coeficientes de Fourier, bem como a série de Fourier, para o caso em que
é contínua por pedaços em
e
a)
é
- periódica ímpar e contínua por pedaços em
.
a)
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever a fórmula dos coeficientes de Fourier e a série de Fourier para uma função
que é contínua por pedaços,
-periódica e ímpar no intervalo
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier para funções ímpares e periódicas.
Passo 2
Primeiro, lembrando que uma função ímpar satisfaz
. Isso é importante porque, nas séries de Fourier, funções ímpares têm apenas termos senoidais, ou seja, os coeficientes
dos cossenos serão zero.
Passo 3
Como a função é
-periódica, vamos usar essa periodicidade para definir a série de Fourier. A fórmula geral para a série de Fourier de uma função periódica de período
é:
Mas como
é ímpar,
e todos os
.
Passo 4
Agora, vamos focar nos coeficientes
. A fórmula para
em uma função ímpar é:
Substituindo
, a fórmula fica:
Como
é ímpar, o intervalo de integração pode ser simplificado para:
Passo 5
Finalmente, juntando tudo, a série de Fourier para
será composta apenas por termos senoidais:
Resposta
A fórmula para os coeficientes de Fourier
é:
E a série de Fourier de
é:
Exercícios relacionados
Use as técnicas de integração estudadas até o momento para resolver as seguintes integrais.
(a)
(a)
Verifique se as funções abaixo são contínuas por pedaços e se forem calcule
para
a)
a)
Supondo que as funções abaixo sejam
- periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a)
a)
Supondo que as funções abaixo sejam
- periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a)
a)