Escreva a fórmula para os coeficientes de Fourier, bem como a série de Fourier, para o caso em que é contínua por pedaços em e
a) é - periódica ímpar e contínua por pedaços em .

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever a fórmula dos coeficientes de Fourier e a série de Fourier para uma função que é contínua por pedaços, -periódica e ímpar no intervalo . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier para funções ímpares e periódicas.

Passo 2

Primeiro, lembrando que uma função ímpar satisfaz . Isso é importante porque, nas séries de Fourier, funções ímpares têm apenas termos senoidais, ou seja, os coeficientes dos cossenos serão zero.

Passo 3

Como a função é -periódica, vamos usar essa periodicidade para definir a série de Fourier. A fórmula geral para a série de Fourier de uma função periódica de período é:
Mas como é ímpar, e todos os .

Passo 4

Agora, vamos focar nos coeficientes . A fórmula para em uma função ímpar é:
Substituindo , a fórmula fica:
Como é ímpar, o intervalo de integração pode ser simplificado para:

Passo 5

Finalmente, juntando tudo, a série de Fourier para será composta apenas por termos senoidais:

Resposta

A fórmula para os coeficientes de Fourier é:
E a série de Fourier de é:

Exercícios relacionados

Use as técnicas de integração estudadas até o momento para resolver as seguintes integrais.
(a)
Verifique se as funções abaixo são contínuas por pedaços e se forem calcule para
a)
Supondo que as funções abaixo sejam - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a)
Supondo que as funções abaixo sejam - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a)