Verifique se as funções abaixo são contínuas por pedaços e se forem calcule
para
a)
a)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos verificar se a função
é contínua por pedaços no intervalo de
a
. Se for contínua, vamos calcular a integral
. Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de continuidade por pedaços e saber como calcular integrais de funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Ela é composta por termos polinomiais e um termo com valor absoluto,
. Sabemos que funções polinomiais são contínuas em todo o seu domínio (
), ou seja, não têm quebras ou interrupções. O único ponto que pode causar descontinuidade aqui é o termo
, então vamos focar nele.
Passo 3
Vamos simplificar o termo
. O valor absoluto
funciona de duas maneiras:
- Para
, . - Para
, .
Então podemos reescrever
da seguinte forma:
- Se
: - Se
:
Passo 4
Agora, vamos reescrever
por partes com base no valor de
:
-
Para
: -
Para
:
Passo 5
Observamos que, em cada intervalo (
e
),
é um polinômio, e já sabemos que polinômios são contínuos em todo lugar. Agora, precisamos verificar se a função é contínua no ponto onde muda de definição, ou seja, em
.
Passo 6
Vamos calcular os limites de
quando
se aproxima de
pela direita e pela esquerda:
-
Para
: -
Para
:
Como os limites laterais são iguais e iguais ao valor da função em
, a função
é contínua em
.
Passo 7
Como
é contínua em todos os intervalos e no ponto de junção (
), concluímos que
é contínua por pedaços no intervalo de
a
. Agora podemos prosseguir para calcular a integral
.
Passo 8
Vamos dividir a integral em duas partes, uma de
a
e outra de
a
, usando as expressões que encontramos para
em cada intervalo:
Passo 9
Vamos calcular cada integral separadamente:
-
Integral de
a : -
Integral de
a :
Passo 10
Vamos avaliar essas integrais nos respectivos limites e somar os resultados:
-
De
a : -
De
a :
Após calcular essas expressões, somamos os resultados das duas integrais.
Passo 11
Após realizar os cálculos, chegamos ao valor final da integral:
Resposta
A integral
é igual a 2.
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Supondo que as funções abaixo sejam
- periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a)
a)
Supondo que as funções abaixo sejam
- periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a)
a)
Use as técnicas de integração estudadas até o momento para resolver as seguintes integrais.
(a)
(a)
Escreva a fórmula para os coeficientes de Fourier, bem como a série de Fourier, para o caso em que
é contínua por pedaços em
e
a) é
- periódica ímpar e contínua por pedaços em
.
a)