Verifique se as funções abaixo são contínuas por pedaços e se forem calcule para
a)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos verificar se a função é contínua por pedaços no intervalo de a . Se for contínua, vamos calcular a integral . Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de continuidade por pedaços e saber como calcular integrais de funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Ela é composta por termos polinomiais e um termo com valor absoluto, . Sabemos que funções polinomiais são contínuas em todo o seu domínio ( ), ou seja, não têm quebras ou interrupções. O único ponto que pode causar descontinuidade aqui é o termo , então vamos focar nele.

Passo 3

Vamos simplificar o termo . O valor absoluto funciona de duas maneiras:
  • Para , .
  • Para , .
Então podemos reescrever da seguinte forma:
  • Se :
  • Se :

Passo 4

Agora, vamos reescrever por partes com base no valor de :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Observamos que, em cada intervalo ( e ), é um polinômio, e já sabemos que polinômios são contínuos em todo lugar. Agora, precisamos verificar se a função é contínua no ponto onde muda de definição, ou seja, em .

Passo 6

Vamos calcular os limites de quando se aproxima de pela direita e pela esquerda:
  • Para :
  • Para :
Como os limites laterais são iguais e iguais ao valor da função em , a função é contínua em .

Passo 7

Como é contínua em todos os intervalos e no ponto de junção ( ), concluímos que é contínua por pedaços no intervalo de a . Agora podemos prosseguir para calcular a integral .

Passo 8

Vamos dividir a integral em duas partes, uma de a e outra de a , usando as expressões que encontramos para em cada intervalo:

Passo 9

Vamos calcular cada integral separadamente:
  1. Integral de a :
  2. Integral de a :

Passo 10

Vamos avaliar essas integrais nos respectivos limites e somar os resultados:
  1. De a :
  2. De a :
Após calcular essas expressões, somamos os resultados das duas integrais.

Passo 11

Após realizar os cálculos, chegamos ao valor final da integral:

Resposta

A integral é igual a 2.

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