Supondo que as funções abaixo sejam
- periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de séries de Fourier! O problema nos dá uma função
que é periódica com período
. A função é definida como
no intervalo
e
no intervalo
. Nosso objetivo é encontrar a série de Fourier dessa função. Para isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier para funções periódicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer função periódica com período
pode ser escrita como uma série de Fourier na forma:
Aqui,
é o termo constante, e
e
são os coeficientes das funções cosseno e seno, respectivamente.
Passo 3
Vamos começar calculando o coeficiente
. Esse coeficiente representa a média da função ao longo de um período e é dado por:
Como nossa função
é igual a
de
a
e igual a
de
a
, podemos dividir a integral em duas partes:
Calculando essas integrais:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
. Esses coeficientes são dados por:
Novamente, dividimos a integral:
No entanto, observe que a função
é uma função ímpar (pois
) e
é uma função par. O produto de uma função ímpar por uma par é ímpar, e a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero:
Passo 5
Vamos agora calcular os coeficientes
, que são dados por:
Novamente, dividimos a integral:
Como
é ímpar e
também é ímpar, o produto
é uma função par. Assim, podemos simplificar:
Calculando a integral:
Simplificando:
Isso significa que
é zero para
par e
para
ímpar.
Passo 6
Agora que temos todos os coeficientes, podemos escrever a série de Fourier da função
:
Aqui,
é um número inteiro que vai de
ao infinito, e apenas os termos ímpares contribuem para a série.
Resposta
A série de Fourier da função
é: