Supondo que as funções abaixo sejam 2 pi - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a) f(x) = {-1, se x em [-pi, 0]; 1, se x em [0, pi]}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de séries de Fourier! O problema nos dá uma função que é periódica com período . A função é definida como no intervalo e no intervalo . Nosso objetivo é encontrar a série de Fourier dessa função. Para isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier para funções periódicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer função periódica com período pode ser escrita como uma série de Fourier na forma:
Aqui, é o termo constante, e e são os coeficientes das funções cosseno e seno, respectivamente.

Passo 3

Vamos começar calculando o coeficiente . Esse coeficiente representa a média da função ao longo de um período e é dado por:
Como nossa função é igual a de a e igual a de a , podemos dividir a integral em duas partes:
Calculando essas integrais:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes . Esses coeficientes são dados por:
Novamente, dividimos a integral:
No entanto, observe que a função é uma função ímpar (pois ) e é uma função par. O produto de uma função ímpar por uma par é ímpar, e a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero:

Passo 5

Vamos agora calcular os coeficientes , que são dados por:
Novamente, dividimos a integral:
Como é ímpar e também é ímpar, o produto é uma função par. Assim, podemos simplificar:
Calculando a integral:
Simplificando:
Isso significa que é zero para par e para ímpar.

Passo 6

Agora que temos todos os coeficientes, podemos escrever a série de Fourier da função :
Aqui, é um número inteiro que vai de ao infinito, e apenas os termos ímpares contribuem para a série.

Resposta

A série de Fourier da função é:

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