Supondo que as funções abaixo sejam - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier da função que é -periódica e está definida por:
Vamos usar o conteúdo de séries de Fourier e integrais para achar os coeficientes que vão compor a série final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer função -periódica pode ser representada por uma série de Fourier da forma:
onde:
  • é o termo constante,
  • são os coeficientes das funções cosseno,
  • são os coeficientes das funções seno.

Passo 3

Vamos calcular primeiro. Esse coeficiente representa a média da função no intervalo de a :
Substituindo na integral, temos:

Passo 4

Vamos resolver as integrais:
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes :
De novo, substituímos :

Passo 6

Observamos que é uma função par, pois . Isso significa que os coeficientes serão zero, porque a função seno é ímpar. Então, só precisamos calcular os .

Passo 7

Vamos simplificar os :
Usamos a propriedade de funções pares para simplificar a integral.

Passo 8

Agora, precisamos resolver a integral . Vamos integrar por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:

Passo 9

Precisamos integrar novamente por partes:
Então:

Passo 10

Voltando à integral original:

Passo 11

Agora avaliamos de 0 a :
Substituindo os limites:
Sabemos que e , então:

Passo 12

Voltando ao cálculo de :

Passo 13

Finalmente, como e , a série de Fourier fica:

Resposta

A série de Fourier da função é:

Exercícios relacionados

Escreva a fórmula para os coeficientes de Fourier, bem como a série de Fourier, para o caso em que é contínua por pedaços em e
a) é - periódica ímpar e contínua por pedaços em .
Use as técnicas de integração estudadas até o momento para resolver as seguintes integrais.
(a)
Supondo que as funções abaixo sejam - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a)
Seja função -periódica dada por se .
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por .