Supondo que as funções abaixo sejam
- periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier da função
que é
-periódica e está definida por:
Vamos usar o conteúdo de séries de Fourier e integrais para achar os coeficientes que vão compor a série final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer função
-periódica pode ser representada por uma série de Fourier da forma:
onde:
-
é o termo constante, -
são os coeficientes das funções cosseno, -
são os coeficientes das funções seno.
Passo 3
Vamos calcular
primeiro. Esse coeficiente representa a média da função no intervalo de
a
:
Substituindo
na integral, temos:
Passo 4
Vamos resolver as integrais:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
De novo, substituímos
:
Passo 6
Observamos que
é uma função par, pois
. Isso significa que os coeficientes
serão zero, porque a função seno é ímpar. Então, só precisamos calcular os
.
Passo 7
Vamos simplificar os
:
Usamos a propriedade de funções pares para simplificar a integral.
Passo 8
Agora, precisamos resolver a integral
. Vamos integrar por partes, onde:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a integração por partes:
Passo 9
Precisamos integrar
novamente por partes:
-
⇒ -
⇒
Então:
Passo 10
Voltando à integral original:
Passo 11
Agora avaliamos de 0 a
:
Substituindo os limites:
Sabemos que
e
, então:
Passo 12
Voltando ao cálculo de
:
Passo 13
Finalmente, como
e
, a série de Fourier fica:
Resposta
A série de Fourier da função
é:
Exercícios relacionados
Escreva a fórmula para os coeficientes de Fourier, bem como a série de Fourier, para o caso em que
é contínua por pedaços em
e
a) é
- periódica ímpar e contínua por pedaços em
.
a)
Use as técnicas de integração estudadas até o momento para resolver as seguintes integrais.
(a)
(a)
Supondo que as funções abaixo sejam
- periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a)
a)
Seja
função
-periódica dada por
se
.
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por .
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por