Use as técnicas de integração estudadas até o momento para resolver as seguintes integrais.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é a integral de em relação a . Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente usando técnicas de integração por partes. Para resolver, vamos precisar escolher bem nossas funções para aplicar a fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral vai ser e qual vai ser . Uma boa estratégia é escolher como a parte que fica mais simples quando derivada.

Passo 3

Vamos escolher:
Agora, vamos derivar para achar e integrar para achar .

Passo 4

Calculando :
E integrando :

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da integração por partes:

Passo 6

Vamos simplificar a segunda integral:
Podemos fazer uma substituição para facilitar. Vamos chamar:
Então, a integral fica:
Mas percebemos que ainda temos um sobrando. Para resolver isso, vamos manipular a expressão original.

Passo 7

Observe que:
Então, a integral fica:
Podemos dividir por :
Vamos dividir o numerador pelo denominador.

Passo 8

Dividindo por :
Então:
Agora, a integral fica:

Passo 9

Vamos resolver a integral . Para isso, completamos o quadrado no denominador:
Então, a integral fica:

Passo 10

Voltando à nossa expressão anterior:

Resposta

Portanto, a integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração.

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