Use as técnicas de integração estudadas até o momento para resolver as seguintes integrais.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é a integral de
em relação a
. Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente usando técnicas de integração por partes. Para resolver, vamos precisar escolher bem nossas funções para aplicar a fórmula de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral vai ser
e qual vai ser
. Uma boa estratégia é escolher
como a parte que fica mais simples quando derivada.
Passo 3
Vamos escolher:
Agora, vamos derivar
para achar
e integrar
para achar
.
Passo 4
Calculando
:
E integrando
:
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da integração por partes:
Passo 6
Vamos simplificar a segunda integral:
Podemos fazer uma substituição para facilitar. Vamos chamar:
Então, a integral fica:
Mas percebemos que ainda temos um
sobrando. Para resolver isso, vamos manipular a expressão original.
Passo 7
Observe que:
Então, a integral fica:
Podemos dividir
por
:
Vamos dividir o numerador pelo denominador.
Passo 8
Dividindo
por
:
Então:
Agora, a integral fica:
Passo 9
Vamos resolver a integral
. Para isso, completamos o quadrado no denominador:
Então, a integral fica:
Passo 10
Voltando à nossa expressão anterior:
Resposta
Portanto, a integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Verifique se as funções abaixo são contínuas por pedaços e se forem calcule
para
a)
a)
Supondo que as funções abaixo sejam
- periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a)
a)
Escreva a fórmula para os coeficientes de Fourier, bem como a série de Fourier, para o caso em que
é contínua por pedaços em
e
a) é
- periódica ímpar e contínua por pedaços em
.
a)
Supondo que as funções abaixo sejam
- periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a)
a)