Use as técnicas de integração estudadas até o momento para resolver as seguintes integrais.
(a) integral ln (x^2-x+2) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é a integral de em relação a . Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente usando técnicas de integração por partes. Para resolver, vamos precisar escolher bem nossas funções para aplicar a fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral vai ser e qual vai ser . Uma boa estratégia é escolher como a parte que fica mais simples quando derivada.

Passo 3

Vamos escolher:
u = ln(x^2 - x + 2)
dv = dx
Agora, vamos derivar para achar e integrar para achar .

Passo 4

Calculando du = ddx ln(x^2 - x + 2) , dx = 2x - 1x^2 - x + 2 , dx :
v = integral dx = x
E integrando :

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral ln(x^2 - x + 2) , dx = u cdot v - integral v , du
= x cdot ln(x^2 - x + 2) - integral x cdot 2x - 1x^2 - x + 2 , dx

Passo 6

Vamos simplificar a segunda integral:
integral x cdot 2x - 1x^2 - x + 2 , dx
Podemos fazer uma substituição para facilitar. Vamos chamar:
w = x^2 - x + 2
dw = (2x - 1) , dx
Então, a integral fica:
integral x cdot dww
Mas percebemos que ainda temos um sobrando. Para resolver isso, vamos manipular a expressão original.

Passo 7

Observe que:
2x - 1x^2 - x + 2 = ddx(x^2 - x + 2) div (x^2 - x + 2)
Então, a integral fica:
integral 2x - 1x^2 - x + 2 cdot x , dx
Podemos dividir integral ( 2x^2 - xx^2 - x + 2 ) dx por :
Vamos dividir o numerador pelo denominador.

Passo 8

Dividindo 2x^2 - x = 2(x^2 - x + 2) - 4 por 2x^2 - xx^2 - x + 2 = 2 - 4x^2 - x + 2 :
integral (2 - 4x^2 - x + 2) dx = 2x - 4 integral 1x^2 - x + 2 dx
Então:
Agora, a integral fica:

Passo 9

Vamos resolver a integral x^2 - x + 2 = (x - 12)^2 + 74 . Para isso, completamos o quadrado no denominador:
integral 1(x - 12)^2 + (raiz72)^2 dx = 2raiz7 tan^-1(2x - 1raiz7) + C
Então, a integral fica:

Passo 10

Voltando à nossa expressão anterior:
2x - 4 cdot 2raiz7 tan^-1(2x - 1raiz7) + C = 2x - 8raiz7 tan^-1(2x - 1raiz7) + C

Resposta

Portanto, a integral de integral ln(x^2 - x + 2) , dx = x cdot ln(x^2 - x + 2) - 2x + 8raiz7 tan^-1(2x - 1raiz7) + C em relação a é:
Onde é a constante de integração.

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