Escreva uma fórmula para a função inversa
fornecendo o domínio e o conjunto imagem. [Observação: lembre-se de que
e
.]
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que achar a função inversa de
. Isso faz parte do tópico de funções inversas no estudo de funções. Pra resolver isso, vamos precisar entender como achar a inversa de uma função e também determinar o domínio e a imagem dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a função inversa, a gente troca
por
e resolve para
. Então, começamos com:
Troca
por
:
Passo 3
Agora, nosso objetivo é isolar
nessa equação. Para isso, vamos usar a propriedade das funções exponenciais que são inversas do logaritmo natural. Levantando a base
de ambos os lados, temos:
Passo 4
Agora, é só isolar
subtraindo 3 de ambos os lados:
Então, a função inversa
é:
Passo 5
Vamos falar do domínio e da imagem. Sabemos que:
- O domínio da função inversa
é igual à imagem da função original . - A imagem da função inversa
é igual ao domínio da função original .
A função original
tem domínio
e imagem
.
Então, a função inversa
terá:
- Domínio:
- Imagem:
Resposta
A função inversa é
, com domínio
e imagem
.