Escreva uma fórmula para a função inversa f^-1 fornecendo o domínio e o conjunto imagem. [Observação: lembre-se de que Im(f^-1) = Dom(f) e Dom(f inverso) = Im(f).] y = ln(x + 3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que achar a função inversa de . Isso faz parte do tópico de funções inversas no estudo de funções. Pra resolver isso, vamos precisar entender como achar a inversa de uma função e também determinar o domínio e a imagem dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a função inversa, a gente troca por e resolve para . Então, começamos com:
Troca por :

Passo 3

Agora, nosso objetivo é isolar nessa equação. Para isso, vamos usar a propriedade das funções exponenciais que são inversas do logaritmo natural. Levantando a base de ambos os lados, temos:

Passo 4

Agora, é só isolar subtraindo 3 de ambos os lados:
Então, a função inversa é:

Passo 5

Vamos falar do domínio e da imagem. Sabemos que:
  • O domínio da função inversa é igual à imagem da função original .
  • A imagem da função inversa é igual ao domínio da função original .
A função original tem domínio e imagem .
Então, a função inversa terá:
  • Domínio:
  • Imagem:

Resposta

A função inversa é , com domínio e imagem .

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