Escreva uma fórmula para a função inversa
fornecendo o domínio e o conjunto imagem. [Observação: lembre-se de que
e
.]
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que achar a função inversa de
. Isso faz parte do tópico de funções inversas no estudo de funções. Pra resolver isso, vamos precisar entender como achar a inversa de uma função e também determinar o domínio e a imagem dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a função inversa, a gente troca
por
e resolve para
. Então, começamos com:
Troca
por
:
Passo 3
Agora, nosso objetivo é isolar
nessa equação. Para isso, vamos usar a propriedade das funções exponenciais que são inversas do logaritmo natural. Levantando a base
de ambos os lados, temos:
Passo 4
Agora, é só isolar
subtraindo 3 de ambos os lados:
Então, a função inversa
é:
Passo 5
Vamos falar do domínio e da imagem. Sabemos que:
- O domínio da função inversa
é igual à imagem da função original . - A imagem da função inversa
é igual ao domínio da função original .
A função original
tem domínio
e imagem
.
Então, a função inversa
terá:
- Domínio:
- Imagem:
Resposta
A função inversa é
, com domínio
e imagem
.
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.
Classifique cada função como uma função afim, função potência, função raiz, função polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função algébrica, função trigonométrica, função exponencial ou função logarítmica.
Resolva cada equação em
.
A função
é de ordem exponencial?