Escreva uma fórmula para a função inversa f^-1 fornecendo o domínio e o conjunto imagem. [Observação: lembre-se de que Im(f^-1) = Dom(f) e Dom(f inverso) = Im(f).] y = (1 + e^x) / (1 - e^x)

Passo 1

Então, a gente tem uma função e a tarefa é encontrar a função inversa . A matéria aqui é sobre funções inversas, ou seja, descobrir como reverter o que a função original faz. Para resolver isso, vamos precisar manipular equações e usar um pouco de álgebra para isolar o .

Passo 2

Primeiro, vamos começar substituindo por para facilitar a visualização:
Agora, nosso objetivo é resolver essa equação para em termos de .

Passo 3

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar o denominador:
Distribuindo o :

Passo 4

Vamos reunir os termos que contêm de um lado e os demais do outro:
Fatorando no lado direito:
Agora, isolando :

Passo 5

Para encontrar , tiramos o logaritmo natural de ambos os lados:
Então, a função inversa é:

Resposta

A função inversa é , com domínio e imagem .

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