Escreva uma fórmula para a função inversa
fornecendo o domínio e o conjunto imagem. [Observação: lembre-se de que
e
.]
Passo 1
Então, a gente tem uma função
e a tarefa é encontrar a função inversa
. A matéria aqui é sobre funções inversas, ou seja, descobrir como reverter o que a função original faz. Para resolver isso, vamos precisar manipular equações e usar um pouco de álgebra para isolar o
.
Passo 2
Primeiro, vamos começar substituindo
por
para facilitar a visualização:
Agora, nosso objetivo é resolver essa equação para
em termos de
.
Passo 3
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar o denominador:
Distribuindo o
:
Passo 4
Vamos reunir os termos que contêm
de um lado e os demais do outro:
Fatorando
no lado direito:
Agora, isolando
:
Passo 5
Para encontrar
, tiramos o logaritmo natural de ambos os lados:
Então, a função inversa é:
Resposta
A função inversa é
, com domínio
e imagem
.