Escreva uma fórmula para a função inversa f^-1 fornecendo o domínio e o conjunto imagem. [Observação: lembre-se de que Im(f^-1) = Dom(f) e Dom(f inverso) = Im(f).] f(x) = 1 + raiz(2 + 5 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a função inversa de . Isso envolve entender sobre funções inversas, seus domínios e imagens. A gente vai precisar trocar as variáveis e resolver para a nova variável, além de ficar de olho nos intervalos onde a função é válida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. Se temos uma função , a função inversa “desfaz” o que faz. Para encontrar , a gente troca por e resolve para .
Então, vamos começar definindo:

Passo 3

Agora, vamos trocar e para ajudar a encontrar a inversa:

Passo 4

Nosso próximo passo é isolar a parte com a raiz quadrada. Para isso, subtraímos 1 de ambos os lados:

Passo 5

Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:

Passo 6

Agora, vamos isolar . Primeiro, subtraímos 2 de ambos os lados:

Passo 7

Por fim, dividimos ambos os lados por 5 para resolver para :

Resposta

A função inversa é:
com domínio e imagem .

Exercícios relacionados

Seja f uma função bijetora, isto é, uma função um a um (injetora) e sobrejetora. Se f(x) = 2 x + ln x, encontre f^(-1)(2).
Encontre uma fórmula para (f o g o h)(x) = f(g(h(x))). f(x) = tan(x), g(x) = x/(x-1), h(x) = raiz cubica(x)
Escreva uma fórmula para a função inversa f^-1 fornecendo o domínio e o conjunto imagem. [Observação: lembre-se de que Im(f^-1) = Dom(f) e Dom(f inverso) = Im(f).] f(x) = (1 + 3x) / (5 - 2x)
(a) Expresse a distância percorrida em termos do tempo decorrido.