Escreva uma fórmula para a função inversa
fornecendo o domínio e o conjunto imagem. [Observação: lembre-se de que
e
.]
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a função inversa de
. Para isso, vamos usar conceitos de funções inversas e entender como determinar o domínio e o conjunto imagem dessas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. A função inversa, denotada por
, “desfaz” a ação da função original. Ou seja, se você aplicar
e depois
, volta pro valor inicial. Para encontrar
, seguemos esses passos:
-
Substituir
por : -
Trocar
por e por : -
Resolver a equação para
:
Vamos multiplicar ambos os lados porpara eliminar o denominador: Distribuindo o: Vamos reunir os termos comde um lado: Fatorando: Isolando:
Então, a função inversa é:
Passo 3
Agora, vamos descobrir o domínio e o conjunto imagem de
.
Primeiro, lembrando que:
Passo 3.1: Encontrar o domínio de
O domínio de
são todos os valores de
que não deixam o denominador zero:
Então,
Passo 3.2: Encontrar o conjunto imagem de
Para encontrar o conjunto imagem, observamos o comportamento da função. A assíntota horizontal é dada por
. Assim, a função nunca atinge esse valor.
Portanto,
Passo 3.3: Determinar o domínio e a imagem de
Usando as relações iniciais:
Resposta
A função inversa é:
com domínio
e conjunto imagem
.
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Escreva uma fórmula para a função inversa
fornecendo o domínio e o conjunto imagem. [Observação: lembre-se de que
e
.]
Seja
uma função bijetora, isto é, uma função um a um (injetora) e sobrejetora. Se
, encontre
.
(a) Expresse a distância percorrida em termos do tempo decorrido.
Verifique se as identidades são verdadeiras:
.