Escreva a fração decimal abaixo como: (a) Uma série infinita; (b) O quociente de dois inteiros:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para transformar a fração decimal de duas maneiras diferentes:
(a) Como uma série infinita;
(b) Como o quociente de dois inteiros (ou seja, uma fração).
Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e frações periódicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura do número decimal . Ele pode ser separado em duas partes:
Parte fixa:
Parte repetitiva: que se repete infinitamente.
Isso nos ajuda a visualizar como transformar isso em uma série ou em uma fração.
Passo 3
Parte (a): Escrevendo como uma série infinita
Vamos expressar o número como a soma da parte fixa e da parte repetitiva em forma de série:
Aqui, cada termo após a parte fixa é multiplicado por uma potência de , , , e assim por diante.
Podemos escrever isso de forma geral como:
Ou usando a notação de soma:
Passo 4
Parte (b): Encontrando o quociente de dois inteiros (fração)
Para transformar em uma fração, seguimos os passos abaixo:
Seja
Multiplique por para deslocar as casas decimais:
Subtraia a equação original da nova equação:
Resolvendo para :
Simplificando a fração:
Multiplicamos numerador e denominador por 100 para eliminar a vírgula:
Simplificando dividindo por 3:
Resposta
(a) A fração decimal como uma série infinita é:
(b) A fração decimal como o quociente de dois inteiros é: