Escreva a fração decimal abaixo como: (a) Uma série infinita; (b) O quociente de dois inteiros: 0,3215151515...

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para transformar a fração decimal de duas maneiras diferentes:
(a) Como uma série infinita;
(b) Como o quociente de dois inteiros (ou seja, uma fração).
Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e frações periódicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura do número decimal . Ele pode ser separado em duas partes:
  • Parte fixa:
  • Parte repetitiva: que se repete infinitamente.
Isso nos ajuda a visualizar como transformar isso em uma série ou em uma fração.

Passo 3

Parte (a): Escrevendo como uma série infinita

Vamos expressar o número como a soma da parte fixa e da parte repetitiva em forma de série:
Aqui, cada termo após a parte fixa é multiplicado por uma potência de , , , e assim por diante.
Podemos escrever isso de forma geral como:
Ou usando a notação de soma:

Passo 4

Parte (b): Encontrando o quociente de dois inteiros (fração)

Para transformar em uma fração, seguimos os passos abaixo:
  1. Seja
  2. Multiplique por para deslocar as casas decimais:
  3. Subtraia a equação original da nova equação:
  4. Resolvendo para :
  5. Simplificando a fração:
    Multiplicamos numerador e denominador por 100 para eliminar a vírgula:
    Simplificando dividindo por 3:

Resposta

(a) A fração decimal como uma série infinita é:
(b) A fração decimal como o quociente de dois inteiros é:

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