Escreva a funçăo que define o resto na forma de Lagrange da funçăo ponto do item (A)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para escrever a função que define o resto na forma de Lagrange para uma função no ponto do item (A). Embora eu não tenha os detalhes do item (A), vou explicar de forma geral como encontrar o resto na forma de Lagrange para uma função qualquer no ponto . Vamos precisar entender um pouco sobre a Expansão de Taylor e o Resto de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Expansão de Taylor de uma função em torno de um ponto é uma forma de aproximar a função como um polinômio. Quando expandimos em torno de , chamamos isso de Série de Taylor em torno de zero, ou Série de Maclaurin.
A série de Maclaurin é dada por:
Onde é o resto da série após os termos até o grau .

Passo 3

O Resto de Lagrange fornece uma forma de expressar esse resto . Ele nos dá uma estimativa de quão boa é a aproximação feita pelos primeiros termos da série de Taylor.
A fórmula do Resto de Lagrange é:
Aqui:
  • é a -ésima derivada de avaliada em algum ponto entre e .
  • é o fatorial de .

Passo 4

Vamos detalhar cada parte para entender melhor:
  1. -ésima derivada : Isso nos diz como a função está se comportando naquele ponto específico . Não sabemos exatamente onde está, mas sabemos que está entre e .
  2. Fatorial : O fatorial aumenta muito rápido à medida que cresce, o que geralmente faz o resto diminuir, melhorando a aproximação.
  3. Termo : Isso indica que o erro depende de quão longe estamos do ponto .

Passo 5

Então, reunindo tudo, a função que define o resto na forma de Lagrange para a função no ponto é:
Onde está entre e .

Resposta

A função que define o resto na forma de Lagrange para a função no ponto é:
Onde está entre e .

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