Usando a regra de L lim x 0^-(e^x+x)^1x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos:
lim x 0^-(e^x+x)^1x
Isso envolve cálculo de limites com funções exponenciais e logaritmos. Para resolver, vamos usar propriedades de limites e logaritmos para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando logaritmos. Sabemos que:
limx to a f(x)^g(x) = e^limx to a g(x) cdot ln(f(x))
Então, aplicando isso ao nosso limite:
lim x 0^-(e^x+x)^1x = e^limx to 0^- ln(e^x + x)x
Agora, precisamos calcular o limite dentro do expoente.

Passo 3

Vamos analisar o limite:
limx to 0^- ln(e^x + x)x
Ao substituir , obtemos uma forma indeterminada . Isso significa que podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que é usada quando temos limites do tipo ou .

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a ddx ln(e^x + x) = e^x + 1e^x + x :
Derivada do numerador:
ddx x = 1
Derivada do denominador:
limx to 0^- e^x + 1e^x + x
Então, o limite se torna:

Passo 5

Agora, substituímos e^0 + 1e^0 + 0 = 1 + 11 + 0 = 21 = 2 na expressão simplificada:
Então, o limite dentro do expoente é 2.

Passo 6

Voltando à expressão original, temos:
lim x 0^-(e^x+x)^1x = e^2

Resposta

O limite é igual a .

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