Usando a regra de L

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos:
Isso envolve cálculo de limites com funções exponenciais e logaritmos. Para resolver, vamos usar propriedades de limites e logaritmos para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando logaritmos. Sabemos que:
Então, aplicando isso ao nosso limite:
Agora, precisamos calcular o limite dentro do expoente.

Passo 3

Vamos analisar o limite:
Ao substituir , obtemos uma forma indeterminada . Isso significa que podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que é usada quando temos limites do tipo ou .

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a :
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Então, o limite se torna:

Passo 5

Agora, substituímos na expressão simplificada:
Então, o limite dentro do expoente é 2.

Passo 6

Voltando à expressão original, temos:

Resposta

O limite é igual a .

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